湖北省重点高中智学联盟2023_2024学年高二数学上学期12月联考试卷.docVIP

Page10

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高二年级12月联考

数学试题

一、单项选择题：（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．复平面内复数的共轭复数为，若，则复数对应的点所在的象限是（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）

A． B．

C．或 D．与的位置关系不能判断

3．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（）

A．1 B．2 C．4 D．8

4．已知，，，的夹角为，则（）

A．1 B． C．2 D．4

5．是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．已知，分别为双曲线：（，）的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

7．已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（）

A． B． C． D．

8．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（）

A． B． C． D．

二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（）

A．若事件和事件互斥，则

B．若事件和事件对立，则

C．若，则事件和事件独立

D．若三个事件、、两两独立，则

10．设、分别是双曲线：（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，若为正三角形，则下列说法正确的是（）

A． B．

C．双曲线的焦距为 D．的内切圆与轴相切于点

11．在边长为2的正方体中，动点满足（），则下列说法正确的是（）

A．若，则直线与所成的角为

B．三棱锥的体积为定值

C．若，则直线与平面所成的角为

D．若，则三棱锥的外接球的表面积为

12．已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上异于坐标原点的两点，则下列结论正确的是（）

A．若直线过点，则

B．若直线过点，则的最小值为4

C．若直线过点，则直线，的斜率之和

D．若直线过点，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．

14．已知样本，，，，的平均数为5，若，，，，的平均数为34．则样本，，，，的方差为______．

15．已知圆台上、下底而的圆的半径分别为3和6，该圆台的体积为，则该圆台的侧面积为______．

16．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题解决，如与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．依上思想，已知，，则的最小值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（1）已知抛物线（）的焦点坐标为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，求弦长；

（2）已知双曲线：（，）的实轴长为2，且它的渐近线与圆相切，求双曲线的焦点到渐近线的距离．

18．（本小题满分12分）

随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该100名学生身高的80%分位数：

（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，再从这6人中任选2人出来，求这2人来自不同小组的概率．

19．（本小题满分12分）

如图：平行六面体中，，且，，记，，．

（1）将用，，表示出来，并求；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

圆过、两点，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．

21．（本小题满分12分）

如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆：（）的离心率，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高二年级12月

数学答案

1．A2．C3．B4．C5．D6．C7．D8．D9．ABC10．BD11．BD

13．14．915．16．

17．（1）由抛物线（）的焦点为，得抛物