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一元二次方程知识点和经典例题

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一元二次方程

一.基本概念

定义:形如:()的方程,叫做一元二次方程的一般式.

例题:若方程是关于x的一元二次方程,求m的值.

二.一元二次方程的解法

(1)直接开方法:,开平方求出未知数的值:

(2)因式分解法:,因式分解得:∴,

(3)配方法:,得:,∴即:

∴,

(4)公式法:

解法步骤:eq\o\ac(○,1)先把一元二次方程化为一般式;eq\o\ac(○,2)找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值;eq\o\ac(○,3)计算出的值;eq\o\ac(○,4)把a,b,的值代入公式;eq\o\ac(○,5)求出方程的两个根.

例题:解方程:x(x+12)=8x+12

解:原方程化简得:,方程中:a=1,b=4,c=-12

==(4)2-4×1×(-12)=16+48=64.∴=

∴原方程根为:,-6.

一元二次方程解法练习题:

(1)用直接开方法解一元二次方程:

eq\o\ac(○,1)(2x-1)=7eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

(2)用因式分解法解一元二次方程:

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)5x(x-3)=6-2xeq\o\ac(○,3)2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)

(3)用配方法解一元二次方程:

eq\o\ac(○,1)x(x+4)=8x+12eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

(4)用公式法解一元二次方程:

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,11)2x2-33x+130=0

(5)选择适当的方法解下列方程:

eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)

eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)

三.一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式:把叫做一元二次方程:()的根的判别式.

利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况:

例1.不解方程判断下列方程跟的情况:

(1)(2)(3)2

解:(1)方程中:a=2,b=-8,c=8,==(-8)2-4×2×8=64-64=0

∵=0∴原方程有两个相等的实数根.

(2)方程中:a=1,b=4,c=-12,==(4)2-4×1×(-12)=16+48=64

∵0∴原方程有两个不相等的实数根.

(3)方程中:a=2,b=-3,c=2,==(-3)2-4×2×2=9-16=-7

∵0∴原方程无实数根.

例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2(m-3)x+m+2=0有实数根,求m的取值范围.

解:当m-1≠0时,即:m时,该方程是关于x一元二次方程.

∵原方程有实数根

∴,即:Δ=[-2(m-3)]2-4(m-1)(m+2)=-28m+44

解得:∴m的取值范围是且m.

例3.求证:关于x的一元二次方程总有实数根.

证明:∵且,

∴总有∴关于x的一元二次方程总有实数根.

四.一元二次方程根与系数的关系

1.定理:设一元二次方程(且)的两个根分别为和,则:

特别地:对于一元二次方程,根与系数的关系为:

注:eq\o\ac(○,1)此定理成立的前提是.也就是说必须在方程有实数根时才可使用.

eq\o\ac(○,2)此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例

(1)已知一元二次方程的一个根,求另一个根;

例1.已知关于的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根是2,求该方程的另一根.

解:设方程的另一根为,则+2=-4,∴=-6∴方程的另一根为-6.

例2.已知方程有一个根是2,求它的另一个根.

解:是它的另一个根是,则2·=,∴=∴方程的另一根为.

注:本题也可由+2=求出=

(2)已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积,求这个方程;

例3.已知一元二次方程的两根分别为和,求这个方程.

.

例5.已知两个数的和是5,这两个数的积是

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