专题08 2024年函数的图象与性质（解析版）.docx

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专题08函数的图象与性质

1．（2024新课标全国Ⅰ卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，

则需满足，解得，

即a的范围是.

故选：B.

2．（2024新课标全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当时，所以，

又因为，

则，

，

，

，

，则依次下去可知，则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3．（2024新课标全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.

【详解】解法一：令，即，可得，

令，

原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，

注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得，即，解得，

若，令，可得

因为，则，当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，

所以符合题意；

综上所述：.

解法二：令，

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为，

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，

即，解得，

若，则，

又因为当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

即有且仅有一个零点0，所以符合题意；

故选：D.

4．（2024新课标全国Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，此时；

当时，可知，此时；

可知若，符合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

综上所述：，即，

则，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为；

解法二：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

则当时，，故，所以；

时，，故，所以；

故，则，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.

5．（2024全国甲卷数学（理）（文））函数在区间的大致图象为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.

【详解】，

又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，

又，

故可排除D.

故选：B.

6．（2024新高考北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，

对于选项AB：可得，即，

根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；

对于选项C：例如，则，

可得，即，故C错误；

对于选项D：例如，则，

可得，即，故D错误，

故选：A.

7．（2024新高考天津卷）设，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.

故选：C.

8．（2024新高考天津卷）下列函数是偶函数的是（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；

对B，设，函数定义域为，

且，则为偶函数，故B正确；

对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；

对D，设，函数定义域为，因为，，

则，则不是偶函数，故D错误.

故选：B.

9．（2024新高考天津卷）若，则的大小关系为（??