2024-2025学年上海高桥中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.09）.docx

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高桥中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若集合，，则________．

2．抛物线的准线方程为________．

3．已知，则________．

4．在某项测量中，某测量结果服从正态分布，且，则________．

5．已知，，方程的一个根为（为虚数单位），则________．

6．的内角，，所对边长分别为，，，面积为，且，则角________．

7．已知向量，，则在方向上的投影向量为________．

8．若直线与曲线相切，则实数的值为________．

9．在数列中，，且，则________．

10．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是________．

11．已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________．

12．，，，，任意，，，，满足，求有序数列有________对．

二、选择题（本大题共4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）

13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A． B． C． D．

14．如图，直角坐标系中4条圆锥曲线，其离心率分别为，则4条圆锥曲线的离心率的大小关系为（）

A． B．

C． D．

15．下列命题错误的是（）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B．设，若，，则

C．线性回归直线一定经过样本点的中心

D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且

16．现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（）

（1）存在与有无穷个交点

（2）存在与有无穷个交点

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

在中，角、、的对边分别为、、，已知．

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状．

18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心，为直径的半圆上．

（1）求证：；

（2）若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．

为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．

喜欢

不喜欢

合计

男

12

8

20

女

10

10

20

合计

22

18

40

（1）根据以上数据，判断能否有的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？

附：，其中，

（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的分布及数学期望．

20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为．点、分别为轴、轴上的定点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；

（3）直线与椭圆交于不同的两点、，已知关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知、、三点共线，试探究直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．

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