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大学函数练习题

题目一：求函数的极值

1.给定函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+4，求f(x)的极值点及对应的极

值。

解析：

为了求函数的极值，首先需要求解导数为零的点。对函数f(x)求导

可得f(x)=6x^2-6x-12。

将f(x)设置为0并解方程，可以得到x=-1和x=3两个根。

接下来，我们可以通过计算f(-1)、f(3)和f(x)在这两个点的导数值，

来判断这些点是否为极值点。

当x=-1时，f(-1)=15，而f(-1)=6(-1)^2-6(-1)-12=0。

所以x=-1是一个极小值点。

当x=3时，f(3)=22，而f(3)=6(3)^2-6(3)-12=0。

所以x=3也是一个极小值点。

因此，f(x)的极小值分别为x=-1时的f(-1)=15，和x=3时的f(3)

=22。

题目二：求函数的渐近线

2.给定函数g(x)=(x^2-9)/(x-3)，求g(x)的水平渐近线、垂直渐

近线以及斜渐近线。

解析：

首先，我们需要判断函数g(x)是否有水平渐近线。水平渐近线的存

在取决于函数在无穷远处的行为。

当x趋向于正无穷大时，g(x)的表达式可以简化为g(x)=(x^2-9)/

x。

根据极限的概念，当x趋向于正无穷大时，g(x)无穷接近于x，因

此函数g(x)的水平渐近线是y=x。

接下来，我们需要判断函数g(x)是否有垂直渐近线。垂直渐近线的

存在取决于函数在某一点的极限是否为无穷大。

当x趋向于3时，g(x)的分母(x-3)趋向于零，而分子(x^2-9)=(x-

3)(x+3)不趋向于零。

因此，这个函数g(x)在x=3处没有定义，也即在x=3处有一个垂

直渐近线。

最后，我们需要判断函数g(x)是否有斜渐近线。斜渐近线的存在取

决于函数在无穷远处的行为。

当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的分子分母的次数都是2，不会

有一个项的次数比另一个项高。

因此，g(x)在无穷远处没有斜渐近线。

综上所述，函数g(x)的水平渐近线是y=x，垂直渐近线是x=3，

而无斜渐近线。

题目三：求函数的零点

3.给定函数h(x)=x^3-4x^2+5x-2，求h(x)的零点。

解析：

为了求函数h(x)的零点，我们需要找到函数图像与x轴交点的横坐

标。

一个较为直观的方法是，根据函数图像观察是否存在交点。然而，

这种方法不够准确。

更可靠的办法是，通过因式分解或者应用数值解等技巧来解方程

h(x)=0。

在这个例子中，我们可以使用二次根式和复数数域中的定理，来求

解函数h(x)=0。

通过应用合适的方法，我们得到h(x)的三个零点为x=1，x=i-1

和x=-i-1。

综上所述，函数h(x)的零点分别为x=1，x=i-1和x=-i-1。

小结：

通过解题，我们学习了求解函数的极值、渐近线以及零点的方法和

技巧。

在求得结果后，我们可以应用这些知识点来进一步分析函数的性质

和行为。

这些技巧不仅在大学数学中有应用，也在各个学科和实际问题中发

挥着重要的作用。