数学中的非线性方程求解算法研究.pdf

数学中的非线性方程求解算法研究

一、引言

非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。在现

实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非

线性方程来得到问题的解。因此，对于非线性方程求解算法的研

究具有重要的理论和实际意义。本文旨在对目前常用的非线性方

程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。

二、二分法

二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解

非线性方程的方法。具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个

初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩

小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。二分法的基本

流程可以简述如下：

1.给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。

2.求出中点c=(a+b)/2。

3.计算f(c)并判断其与零点的位置关系。

4.根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。

5.重复步骤2~4，直到满足收敛条件。

二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。但是，其收

敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。

三、牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。其基

本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐

逼近方程的零点。牛顿迭代法的基本流程如下：

1.选取一个初始点x0。

2.计算函数f(x)的一阶导数f(x0)。

3.计算当前点x0的函数值f(x0)。

4.根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f(x0)。

5.重复步骤2~4直到满足收敛条件。

牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函

数。但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求

导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。

四、弦截法

弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。其基本思

路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近

方程的零点。根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来

构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。

弦截法的基本流程如下：

1.给定初始点x0和x1，满足f(x0)f(x1)＜0。

2.计算当前点x1的函数值f(x1)和点x0的函数值f(x0)。

3.根据线性插值得到直线L，计算L与x轴的交点x2。

4.判断x2与零点的位置关系，选择新的近似解x3。

5.重复步骤2~4直到满足收敛条件。

弦截法相对于二分法和牛顿迭代法来说，可以不需要函数的导

数信息，其收敛速度快于二分法，但比牛顿迭代法慢一些。如果

选择的初始点不够理想，则可能会影响收敛性能。

五、拟牛顿法

拟牛顿法是一种基于近似Hessian矩阵的非线性方程求解方法。

它通过构造正定的近似Hessian矩阵来模拟牛顿法中的Hessian矩

阵，从而避免了求解函数的二阶导数。拟牛顿法的基本流程如下：

1.选取一个初始点x0和一个初始Hessian矩阵B0。

2.计算当前点x0的函数值f(x0)和一阶导数g(x0)。

3.根据更新公式x1=x0-s*Bk*gk，求解近似解x1。

4.计算当前点x1的函数值f(x1)和一阶导数g(x1)。

5.根据近似Hessian矩阵的更新公式Bk+1=Bk+uuT/vT*u，更

新近似Hessian矩阵。

6.重复步骤2~5直到满足收敛条件。

拟牛顿法的优点在于避免了求解函数的二阶导数，对于函数的

可导性和光滑性要求相当低，其收敛速度也相对较快。但是其缺

点在于需要维护一个二维数组，占用内存较大，另外其迭代过程

中需要对矩阵进行求逆等运算，计算成本较高。

六、共轭梯度法

共轭梯度法是一种基于梯度下降的非线性方程求解方法。其基

本思路是：通过构造共轭方向的方法来优化梯度下降的迭代过程，

从而有效地提高求解的性能。共轭梯度法的基本流程如下：

1.选取一个初始点x0和一个初始方向d0=-g(x0)。

2.计算当前点x0的函数值f(x0)和一阶导数g(x0)。

3.利用Armijo规则选择步长t。

4.求解