专题2.4 等腰三角形中的综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版).pdf

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专题2.4等腰三角形中的综合

1△ABCABACAE△ABCGHBAAC

【典例】在中,=,是的中线,、分别为射线、上一点,且满足

∠GEH+∠BAC=180°.

(1)1∠CAE45°GHBAAC△AEH≌△BEG

如图,若=,且、分别在线段、上,求证;

(2)1AG3CH

在()的条件下,=,求线段的长度;

(3)2AEDDEAEEEF⊥BDFGBAH

如图,延长至点,使=,过点作于点,当点在线段的延长线上,点

ACBFCHBG

在线段的延长线上时,探求线段、、三者之间的数量关系,并说明理由.

【思路点拨】

1∠BAC90°==∠GEH+∠BAC

()利用等腰三角形的性质和已知条件,先证=,,,再结合=

180°,证明∠GEH=90°,进而证明∠AEH=∠BEG,最后利用ASA即可证明△AEH≌△BEG;

211ASA△CEH≌△AEG==3

()利用()中结论,参照()中方法利用即可证明,即可得出;

△△=

(3)作EI⊥AB于I,在BG上截取IJ=BI,连接EJ.先利用AAS证明JEG≌CEH,推出,再

证明△BFE≌△BIE,推出BF=BI,即可得出=++=2+.

【解题过程】

1

解:()证明:如图所示

ABACAEABC

∵=,是△的中线,

∴∠C∠BAE⊥BC

=,,

又∵∠CAE=45°,

∴∠C=∠CAE=45°,

∴∠B=∠C=∠CAE=∠BAE=45°,

∴∠BAC90°==

=,,,

∵∠GEH+∠BAC=180°,∠BAC=90°,

∴∠GEH=90°,

AEH+AEGAEG+BEG90°

∴∠∠=∠∠=,

AEHBEG

∴∠=∠,

在△AEH和△BEG中,

∠=∠

=,

∠=∠=45°

∴△AEH≌△BEG(ASA);

21∠C∠BAE45°=∠GEH90°AE⊥BC

()由()知==,,=,,

AECGEH90°

∴∠=∠=,

AEH+CEH

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