专题2.4 等腰三角形中的综合（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）.pdf

专题2.4等腰三角形中的综合

1△ABCABACAE△ABCGHBAAC

【典例】在中，＝，是的中线，、分别为射线、上一点，且满足

∠GEH+∠BAC＝180°．

(1)1∠CAE45°GHBAAC△AEH≌△BEG

如图，若＝，且、分别在线段、上，求证；

(2)1AG3CH

在（）的条件下，＝，求线段的长度；

(3)2AEDDEAEEEF⊥BDFGBAH

如图，延长至点，使＝，过点作于点，当点在线段的延长线上，点

ACBFCHBG

在线段的延长线上时，探求线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．

【思路点拨】

1∠BAC90°==∠GEH+∠BAC

（）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证＝，，，再结合＝

180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明△AEH≌△BEG；

211ASA△CEH≌△AEG==3

（）利用（）中结论，参照（）中方法利用即可证明，即可得出；

△△=

（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再

证明△BFE≌△BIE，推出BF＝BI，即可得出=++=2+．

【解题过程】

1

解：（）证明：如图所示

ABACAEABC

∵＝，是△的中线，

∴∠C∠BAE⊥BC

＝，，

又∵∠CAE＝45°，

∴∠C＝∠CAE＝45°，

∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，

∴∠BAC90°==

＝，，，

∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，

∴∠GEH＝90°，

AEH+AEGAEG+BEG90°

∴∠∠＝∠∠＝，

AEHBEG

∴∠＝∠，

在△AEH和△BEG中，

∠＝∠

=，

∠＝∠=45°

∴△AEH≌△BEG(ASA)；

21∠C∠BAE45°=∠GEH90°AE⊥BC

（）由（）知＝＝，，＝，，

AECGEH90°

∴∠＝∠＝，

AEH+CEH