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中考数学压轴题--二次函数
第6节费马点求最小值
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方法点拨
AA
EE
P
P
BCBC
△APC≌△AQE,且△APQ为等边三角形,
∴PC=QE,AP=PQ
∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE
当B、P、Q、E共线时,AP+BP+CP和最小
例题演练
题组1:费马点在三角形中运用
例1.如图,在△ABC中,P为平面内一点,连结PA,PB,PC,分别以PC和AC为一边向右作等
边三角形△PCM和△ACD.
【探究】求证:PM=PC,MD=PA
【应用】若BC=a,AC=b,∠ACB=60°,则PA+PB+PC的最小值是(用a,b表示)
练1.1问题提出
(1)如图①,在△ABC中,BC=2,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′,则CC′
=;
问题探究
(2)如图②,在△ABC中,AB=BC=3,∠ABC=30°,点P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,
求PA+PB+PC的最小值,并说明理由;
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=4,∠ABC=∠BCD=60°.在四边形
ABCD内部有一点,满足∠APD=120°,连接BP、CP,点Q为△BPC内的任意一点,是否存
在一点P和一点Q,使得PQ+BQ+CQ有最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说
明理由.
题组2:费马点在四边形中运用
例2.如图,P为正方形ABCD内的动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为.
练2.1如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM
绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接BN、AM、CM.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若正方形的边长为,正方形内是否存在一点P,使得PA+PB+PC的值最小?若存在,求出
它的最小值;若不存在,说明理由.
例3.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(0,2),点D在x轴的正半轴上,∠ODB=
30°,OE为△BOD的中线,过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点(A
在F的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上,求AE及AM的长;
(3)点P为△ABO内的一个动点,设m=PA+PB+PO,请直接写出m的最小值,以及m取得最小
值时,线段AP的
长.
2
练3.1如图,抛物线y=ax+bx+过点A(1,0),B(5,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)定义:平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离,称为点到二次函数图象
的垂直距离.如:点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长.已知点E为抛物线对称轴上
的一点,且在x轴上方,点F为平面内一点,当以A,B,E,F为顶点的四边形是边长为4的菱
形时,请求出点F到二次函数图象的垂直距离.
(3)在(
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