2024-2025学年上海洋泾中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.09）.docx

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洋泾中学2024学年第一学期高一年级数学月考

2024.09

一、填空题（每小题3分，满分30分）

1．用列举法写出所有小于13的素数组成的集合：________．

2．若等式对任意实数恒成立，则________．

3．已知，则________．

4．已知集合，，则________．

5．用反证法证明命题“若且，则”时，第一步应该假设________．

6．若有且仅有两个子集，则实数的值为________．

7．已知，，若的一个充分非必要条件是，则实数的取值范围为________．

8．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________．

9．设集合，若集合的所有非空真子集的元素之和是300，则________．

10．设集合，为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则________．

二、选择题（每小题4分，满分16分）

11．下列命题为真命题的为（）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

12．已知全集中有个元素，中有个元素，若，则的元素个数为（）．

A． B． C． D．

13．设为全集，，为集合，则“存在集合使得，”是“”的（）条件．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．设非空集合满足：当时，，给出如下三个结论：

①若，则；②若，则；③若，则．则其中正确的结论的个数为（）．

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题（5个大题，总分54分）

15．（本题满分8分）

已知，关于的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件．

16．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

17．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

若一元二次方程的两个实数根为，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，请根据实数的不同取值范围讨论的值．（用表示）

18．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

已知，，．

：关于的方程的解集中最多有一个元素．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，和中有且仅有一个成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）

已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．

（1）判断：集合是否是“完美集”，并说明理由；

（2），是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；

（3）若均为正整数，求满足条件的所有“完美集”．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.0或-1;7.;8.;9.;10.；

10．设集合，为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则________．

【答案】

【解析】任取偶数,将除以2,若商仍为偶数，再除以，

经过次后，商必为奇数,此时商为,

从而,其中为奇数,,

由题意知,若,则等价于为偶数;若,则等价于为奇数,

所以是否属于,由是否属于确定,

设是中所有奇数的集合,所以是的子集个数,

当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为

所以,所以,故答案为:.

二、选择题

11.A12.D13.C14.D

14．设非空集合满足：当时，，给出如下三个结论：

①若，则；②若，则；③若，则．则其中正确的结论的个数为（）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】由定义设非空集合满足：当时，有知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证时，有即，

符合条件的的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证时，有

即，正对各个命题进行判断：

对于①故必有,可得,

对于②,则,解之可得；

对于③若,则,解之可得所以正确命题有3个。故选：D。

三．解答题

15.证明略

16.（1），（2）

17.（1）（2）

18．（1）（2）

19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）

已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．

（1）判断：集合是否是“完美集”，并说明理由；

（2），是两个不同的正数，且是