专题2.4 辅助圆定点定长（隐圆压轴一）（原卷版）.pdf

专题2.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离

为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠

BCD＝105°，则∠BDC＝．

版权所有

【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，

请画出满足条件时点C的轨迹．

【变式1-2】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝

度．

【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点

F的轨迹．

【变式2-1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋

转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨

迹．

【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD

沿AD对折，得到△ABD，当点B落在AC边上时，点D停止运动，若AB＝AC，则

在点D的运动过程中，点B的运动路径长为．

【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针

旋转，得到菱形ABCD，求出当点D在BA的延长线上时，点C运动的路径长．

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线

面BC边上的动点，将EBF沿EF所在的直线折叠得到EBF，连接BD，求BD

的最小值

【变式3-1】（锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的

中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，

连接A′C，则A′C的最小值是．

【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，

AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值

是，点F到线段BC的最短距离是．

【变式3-3】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点

E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接

AM，则线段AM的最小值为．

【典例4】（邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，

0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x

上的动点，则线段CD长的最小值为（）