人教版九年级数学上册专题13正多边形与圆、弧长和面积公式（热考题型）解析版.docxVIP

专题13正多边形与圆、弧长和面积公式

【思维导图】

◎考点题型1正多边形和圆

正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．

正多边形的相关概念：

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

半径、边心距，边长之间的关系：

画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：

量角器

（作法操作复杂，但作图较准确）

量角器+圆规

（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）

圆规+直尺

（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）

例．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【分析】根据正多边形的中心角，计算即可．

【详解】由题意得，45°，

解得n＝8，

故选：C．

【点睛】本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边形的中心角与内角混淆而造成错误计算．

变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．

【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，

∴∠COD==60°，则∠COE=120°，

∴∠CME=∠COE=60°，

故选：D．

【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．

变式2．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（???????）．

A．六 B．八 C．十 D．十二

【答案】D

【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．

【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，

∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，

∴,，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．

变式3．（2022·河南信阳·九年级期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（??????????）

A． B．4 C． D．2

【答案】B

【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得．

【详解】解：如图，正六边形的中心角，边长，

，

是等边三角形，

，

即这个正六边形的外接圆的半径为4，

故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键．

◎考点题型2弧长

设的半径为，圆心角所对弧长为，

弧长公式：（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）

例．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）

A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米

【答案】C

【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．

【详解】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，

∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，

∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，

∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，

∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，

∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，

∴花坛的周长为2×＝8π（米），

故选：C．

【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．

变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形中，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为（结果保留）（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°-∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式来求的长即可．

【详解】解：如图，连接OD．

根据折叠的性质知，OB=DB．

又∵OD=OB，

∴OD=OB=DB，即△OD