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一些简单图形的外接正方形

【摘要】平面上简单闭曲线的外接正方形问题是一道很有意思的平面几何

的问题，也是一道世界数学难题。本文尝试着对一些简单的图形，如三角形、四

边形等给出外接正方形的解答。对外接正方形的不同理解将产生不同的解答。本

文论讨论了外接正方形的两种定义，并依此给出一些解答。本文所研究的内容以

及得出的理论可用于实际生活当中，例如，可以作出三角形的最小外接正方形，

这样如运用到材料生产中，可以大大节省材料，节约资源。

【关键词】凸多边形；三角形；正方形；外接正方形

平面几何是一门基础的内容，也是博大精神的一门学问，甚至可以说是一种

语言，是一种传承了古代数学璀璨文化的特殊语言。

然而，在这门神圣的“语言”里面却蕴含着许多有趣的文艺。例如：平面上任

意简单闭曲线都有外接正方形，是一道世界难题，至今仍无法解决。本文想做的

工作就是从简单的凸多边形入手，即从三角形开始，到正方形，长方形，梯形，

平行四边形，菱形……利用这些图形的一些性质，从中给出一些具体的解答。

本论文讨论了外接正方形的两种理解。首先从图形的外接正方形的定义出

发，引出图形外接正方形的第一种定义方式，给出一些图形，特别是三角形的外

接正方形的存在性。多边形额各顶点都在一个正方形的边上为论文的外接正方形

的第二种定义，按此定义讨论三角形，正方形，长方形，一些梯形的外接正方形

的存在性。

本文所研究的内容以及得出的理论可用于世纪生活工作汇总，例如，可以做

出三角形的最小外接正方形，这样如运用到日常生活生产中，都能够让使用者更

加便捷。

1.外接正方形的定义

平面上，任意简单闭曲线，即不相交的封闭曲线，将平面分成两个连通部分，

一个有界，一个无界。我们讨论有界的部分，其边界就是已知的闭曲线，而它一

定包含在一个矩形之内，直观上可以将矩形调节到尽可能的小，于是有下列定义。

定义：对于平面上的简单闭曲线，若存在一个长方形，使得该简单闭曲线完

全落在长方形之内且长方形的四边都与简单闭曲线相切，则称长方形为简单闭曲

线的外接长方形，若此长方形为正方形的话，那么这个正方形就成为此简单闭曲

线的外接正方形。

一个至今仍未解决的问题就是“平面上的任意简单闭曲线是否都存在其外接

正方形”，我们就讨论三角形的外接正方形问题。

2.外接正方形的一些简单性质

我们先给出一些外接正方形的分析和简单命题。

命题（一）（凸化性质）若一个简单闭曲线有外接正方形，那么该图形的凸

包闭曲线也有外接正方形。

命题（二）若凸多边形有两个相邻内角都小于等于45度，那么则此凸多边

形有外接正方形。

实际上，可以以这两内角所夹的边作为正方形的对角线，那么此正方形就是

该凸多边形的外接正方形。

命题（三）任意圆形都存在外接正方形。

作法：过圆形一条直径的两端作其垂线，然后再作圆的两条切线并且垂直于

先前的两条垂线，所截得的四边形就是圆形的外接正方形。

证明：两条直线所截得的四边形相邻两边迟滞，且都与直径相等，所以此四

边形为外接正方形。

注：由作法可知，任意圆都有无数个外接正方形。

3.三角形的外接正方形

假设存在一个正方形，在其内部画一个三角形，因为这样的三角形可以有无

数个，并且由于定义中要求其整个图形都要落在这个正方形中且与四边相切。

如图1所示，则此正方形ABCD将可以继续被压缩成一个矩形AHFD直至

不能再压缩位置。如图2所示情况不符合定义。因此有引理（一）：三角形的其

中一个顶点必须和其外接正方形的一个顶点重合。

图1图2

将三角形按内角种类分为3类：①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形。

定理（1）：任意直角三角形都存在外接正方形。

证明：假设直角三角形BEF存在外接正方形ABCD，由引理（一）只能如

图3所示。

图3

设两条直角边BF=b，EF=a，正方形边长为m，∠ABF为θ，则∠EFD=θ，

因为bcosθ=m，acosθ=FD，则=，所以=≥1，即b≥a。

旋转正方形ABCD，只需证明出0°≤θ≤45°则结论得证。

因为m=bcosθ，而m=bsinθ+acosθ，所以，bcosθ=bsinθ+acosθ，

整理得

bsinθ=（b-a）cosθ