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双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
《双曲线及其标准方程》,选自高中数学人民教育出版社A版的选择性必修第一册第三章第二节第一课时内容。
本节课是类比椭圆的概念引出双曲线的问题,通过实际绘制双曲线图象的过程认识双曲线的几何特征,抽象出双曲线的概念,类比椭圆推导出双曲线的标准方程并加以比较、应用。本节课承接了椭圆的定义和标准方程的研究,也是进一步研究双曲线几何性质的基础。
通过本节课的学习,能进一步深化和提高对圆锥曲线的研究,也能进一步体会坐标法,类比法,数形结合思想在数学中的应用。
优势
学生已经学习了直线,圆和椭圆的方程,掌握了求曲线方程的一般步骤,了解了含有两个根式的方程的化简,也体会了坐标法,类比法,数学结合思想的应用.
劣势
但学生对双曲线的形成还不是很清楚,这是本节课的一个难点。学生也容易混淆椭圆与双曲线的有关知识,要加以对比,归纳总结。
学情分析
能类比椭圆,借助信息技术,通过实际绘制双曲线图象的过程认识双曲线的几何特征,抽象出双曲线的概念,发展数学抽象素养。
能类比椭圆,推导出双曲线的标准方程,发展数学运算,直观想象,逻辑推理素养;
能利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题和实际问题,从中体会建立曲线的方程的方法,发展数学建模素养.
02
03
01
教学目标与学科素养分析
教学重点,难点
1.双曲线的几何特征,双曲线的概念;
2.双曲线的标准方程
双曲线的形成
教法:启发式、探究式教学法
创设情境、提出问题
启发引导、指导应用
学法:探索尝试独立思考合作交流
教学,学法分析
复习回顾,课题导入
导入课题:双曲线及其标准方程
复习回顾:
椭圆及其标准方程
创设情境
绘制图象,合作探究
类比启发,方程推导
类比推理,举一反三
通过图象,生成定义
列表对比,加深理解
合作探究,生成定义
双曲线的形成是一个难点
(1)类比椭圆定义,平面内到两定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?
(2)图中动点M的满足什么几何条件?两圆交点的轨迹是什么形状?
抽象出双曲线的概念
图一
图二
方程推导
坐标法
建系
验证
化简
列式
设点
焦点在x轴上
你能在y轴上找一点B,使得|OB|=b吗?
类比椭圆
求曲线方程一般步骤是什么?
绝对值
绘制图象,合作探究
类比启发,方程推导
类比推理,举一反三
通过图象,生成定义
列表对比,加深理解
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义
方程
焦点
a.b.c的关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|-|MF2||=2a
F(±c,0)
F(0,±c)
F(±c,0)
F(0,±c)
ab0,a2=b2+c2
a0,b0,但a不一定大于b,c2=a2+b2
方程推导
焦点在x轴上:
焦点在y轴上:
例题解析
通过例1,让学生熟悉双曲线的定义和标准方程,并能运用椭圆的定义或者待定系数法求其标准方程
通过例2,让学生进一步熟悉双曲线的定义,把握实际问题解决的过程。
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。
例题解析
让学生自己体验求轨迹方程的方法,体会双曲线与椭圆的联系与区别。
探究
解:
由方程可知,点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆.
对比发现已知两点B(-a,0),C(a,0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则动点A的轨迹与m有如下关系:
设A(x,y),则
化简整理得
①当m=-1时,
顶点A的轨迹是以原点为圆心,半径为a的圆,
去掉(±a,0);
②当-1m0时,
顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,
去掉(±a,0);
③当m-1时,
顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,
去掉(±a,0).
④当m0时,
顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线,
去掉(±a,0).
课堂练习
巩固双曲线有关概念及标准方程的求法
课时小结
1.双曲线的定义及标准方程,与椭圆的联系与区别;
2.研究的方法和过程;
3.注重坐标法,数形结合,类比的思想方法。
及时归纳总结,培养学生学习的主动性
1.必做题:P127页课本习题3.2第1,2,5题
2.思考题(选做):定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告,正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置。
(假定声音传播的速度为340m/s,相关
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教师资格证持证人
我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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