1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类

一、空间中点、直线和平面的向量表示

1．空间中点的位置向量:

→

如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示．我们把向量

→

OP称为点P的位置向量．

2．空间中直线的向量表示式:

直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件

是存在实数t，使

→→

OP＝OA＋ta，①

→

把AB＝a代入①式得

→→→

OP＝OA＋tAB，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

3．空间中平面的向量表示式：

(1)平面ABC的向量表示式

→→→→

空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.③

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．

(2)平面的法向量

如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平

→

面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP＝0}．

二、空间中直线、平面的平行

1．线线平行的向量表示：

设u，u分别是l，l的方向向量，则l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u＝λu.

1212121212

2．线面平行的向量表示：

设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

3．面面平行的向量表示:

设n，n分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n＝λn

121212

三、空间中直线、平面的垂直

1．线线垂直的向量表示:

设u，u分别是直线l,l的方向向量，则l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0.

1212121212

2．线面垂直的向量表示:

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.

3．面面垂直的向量表示:

设n，n分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0.

121212

（一）

直线的方向向量

理解直线方向向量的概念：

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．

(2)直线的方向向量不唯一．

（3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．

题型1：直线的方向向量

ur

1-12024··lm=2,-1,3lA(0y3)B(

．（高二下江苏常州期中）已知直线的一个方向向量，且直线过，，和－

12z)yz

，，两点，则－等于（）

A．0B．1C．2D．3

ur

1-2