2.5.2圆与圆的位置关系7题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

2.5.2圆与圆的位置关系7题型分类

一、圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

2．判定方法

(1)几何法：若两圆的半径分别为r，r，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断

12

方法如下：

位置关系外离外切相交内切内含

图示

d与r，r|r－r|＜d

1212

d＞rrd＝rrd＝|r－r|d＜|r－r|

12121212

的关系＜r1r2

(2)代数法：设两圆的一般方程为

2222

C：xyDxEyF＝0(DE－4F0)，

1111111

2222

C：xyDxEyF＝0(DE－4F0)，

2222222

22

＋＋＋＋＝，

xyDxEyF0

联立方程得{22111

＋＋＋＋＝，

xyDxEyF0

222

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

方程组解的个数2组1组0组

两圆的公共点个数2个1个0个

两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含

二、圆与圆位置关系的应用

设圆C：x2y2DxEyF＝0，①

1111

圆C：x2y2DxEyF＝0，②

2222

若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得

(D－D)x(E－E)yF－F＝0.③

121212

方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．

(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一

结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的

公共弦所在的直线方程．

(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．

(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．

三、圆与圆的公切线

1．公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

位置关系外离