模块六立体几何大招8翻折问题之平面化.pdf

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大招翻折问题之平面化

处理不同平面内的共点线段长度和的最小值或周长最小值问题的关键在于将原本不在一个

平面内的情形，通过翻折变换，转化为在一个平面内的情形，这个过程我们称之为平面化．在

实际操作过程中既可以翻折整个平面，也可以只翻折需要的线段．

立体几何是高考的考察重点，翻折问题与动态性问题也是常考题型，常在小题当中出现，大

题也有考察考查热点仍是点、线、面的位置关系的判断和空间角的计算，解题的关键是弄.

清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．解题时我们要依据这些变化的与未变化的

量来分析和解决问题．

PABCAPB40E,FBP,CP

如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上

【典例1】2

试卷第1页，共8页

的点，过A,E,F作三棱锥的截面，则截面△AEF周长的最小值为.

【大招指引】将正三棱锥侧面展开，由图可知，当A,E,F,A1四点共线时，△AEF周长最

小，由题意计算角APA1的值，再利用余弦定理代入计算，即可得△AEF周长的最小值.

【解析】将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使△AEF的周长最小，只需让

A,E,F,AE,FAABP,CP△AEF

四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，

11

BPCCPAAPB40，∴APA120，得

11

221

AAAPAP2APAPcos1204422223，所以△AEF的周长

111

2

的最小值为23.

故答案为：23

本题考查了侧面展开图的应用和三角恒等变换的应用，考查了转化化归思想，

【题后反思】

属于中档题.

【举一反三】

．在正三棱锥﹣（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，＝，＝，

1PABCAB4PA8

过作与，分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是．

APBPCDE△ADE

【典例2】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是正方形，

是边长为的正三角形，，分别是棱PD,PC上的动点，则的最小值

PAB2EFAEEFBF

是（）

试卷第2页，共8页

A．22B．23C．72D．71

【大招指引】将平面PAD,PCD,PBC展开到一个平面内，则AEEFBF的最小值即为

展开图中的长，利用余弦定理求解即可．

AB

【解析】∵平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AD平面ABCD，

ADAB，

∴AD平面PAB，又