模块六立体几何大招2外接球问题之补形法.pdf

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大招外接球问题之补形法

求解棱锥（一般为三棱锥）的外接球相关问题，我们一般采用两种方法——补形法与双外心

模型．首先我们一起来了解一下补形法．

1．补形法

如果一个三棱锥的各个顶点都是直棱柱的一些顶点，那么就可以将这个三棱锥补形成直棱柱，

并且直棱柱的外接球就是原三棱锥的外接球（空间中不共面的四个点确定一个球）．

2．四种常见的可以补形成长方体的三棱锥

①一顶点引出的三条棱两两垂直的三棱锥（因为形状像墙角，又称墙角模型）：如下图所示，

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abc

SAa==

可以补形成长方体．若，，，则外接球半径R．

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②底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，垂足为三角形的非直角顶点的三棱锥（②实际上就

是①的变式，区别在于垂足是直角顶点还是非直角顶点）：如下图所示，可以补形成长方体．若

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abc

SCa，ABb，ACc，则外接球半径R．

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③对棱相等的三棱锥：如下图所示，可以把对棱作为长方体相对的两个面的面对角线，进而

试卷第1页，共5页

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abc

补形成长方体．若ABCDa，BCADb，ACBDc，则外接球半径R．

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④顶点在底面的投影恰与底面三个顶点构成长方形的三棱锥：如下图所示，也可以补形成长

方体，求出长方体的外接球半径即可得三棱锥A-BCD的外接球半径．

【典例】棱长为的正四面体的外接球半径为．

1a______

【大招指引】由正棱锥性质及已知条件得其为正四面体，将正四面体补成正方体，则正四面

体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体棱长得对角线长即为外接球直径，从而可得球

表面积．

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【解析】如下图所示，正四面体可以补形成一个正方体，正方体边长为a，于是该正方

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121212

aaa

体的外接半径2226，因此棱长为a的正四面体的外接球半径为

Ra

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a（可以当作结论记一下，大家会经常见到它）．

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【题后反思】

本题考查四面体的外接球问题