2023-2024学年东北四市一模试题高三第一次月考-数学试题.doc

2022-2023学年东北四市一模试题高三第一次月考-数学试题

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知为虚数单位，若复数，则

A． B．

C． D．

2．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()

A．1 B．2 C． D．

3．函数的大致图像为（）

A． B．

C． D．

4．设复数，则=（）

A．1 B． C． D．

5．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）

A． B． C．2 D．﹣2

6．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不修要条件

7．若复数满足，则（）

A． B． C． D．

8．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

9．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（）

A．12 B． C． D．

10．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）

A．1 B． C． D．0

11．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（）

A． B． C． D．

12．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为()

A．60 B．80 C．90 D．120

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数，若在上的最大值为，则________.

14．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.

15．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.

16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，它的导函数为．

（1）当时，求的零点；

（2）当时，证明：．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.

19．（12分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.

20．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

21．（12分）已知函数.

（1）求证：当时，；

（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.

22．（10分）已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，求函数在上最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

因为，所以，故选B．

2．D

【解析】

设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．

【详解】

由题意，正项等比数列中，，

可得，即，

与的等差中项为4，即，

设公比为q，则，

则负的舍去，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．

3．D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

函数的定义域为，当时，，排除B和C；

当时，，排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特