2024年北师大版八年级上册教学设计第一章1.3　勾股定理的应用.docx

课时目标

1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识.

2.能熟练运用勾股定理求最短距离.

3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法.

学习重点

利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题.

学习难点

把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并解决问题.

课时活动设计

回顾引入

1.勾股定理的内容是什么?

2.勾股定理逆定理的内容是什么?

3.我们学过哪些关于“最短”的知识?

设计意图:教师通过回顾已学的相关知识,引出本节课所学内容.

探究新知

问题情境:蚂蚁和食物分别在圆柱体上相对的顶点处,求蚂蚁怎样走最近.

问题1:如图,蚂蚁从圆柱下底面边缘的点A沿圆柱的侧面爬到上底面的边缘B处,

(1)如何爬路径最短?

(2)若已知圆柱的高为12cm,底面周长为18cm,求最短路径.

师生合作探究:(1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?

(2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?

(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

解:圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长的中点位置.

根据两点之间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线.

在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12cm,

根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225(cm2).所以AB=15cm.

所以,蚂蚁爬行的最短路程是15cm.

小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.

问题2:如图,点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,如何爬路径最短?

教师分析:正方体有几个面组成?正方体怎么展开?至少需要展开几个面?

解:如图所示,沿着线段AB爬行的距离最短.

问题3:如图,蚂蚁从长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体的顶点A沿表面爬到顶点B处,

如何爬路径最短?你能求出这个最短路径吗?

教师分析:长方体有几个面组成?长方体怎么展开?至少需要展开几个面?

解:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行比较,再从各个路线中确定最短的路线.

①展开前面和上面,由勾股定理,得AB12=42+(1+2)

②展开前面和右面,由勾股定理,得AB22=12+(4+2)

③展开左面和上面,由勾股定理,得AB32=22+(1+4)2

因为372925,所以AB1最短,最短路径AB1为5cm.

学生自主完成教材第13页做一做,教师进行点评.

设计意图:本环节在圆柱体的基础上依次增加难度,先是变为正方体,再变为长方体,引导学生由浅入深,由圆柱体侧面展开一个面上的最短距离.到正方体再到长方体展开两个面才能找到最短距离;引导学生理解长方体有六种展开方式的原因(源于长,宽,高的组合),通过勾股定理计算比较得出最短距离.本环节很好地渗透了分类讨论思想.

典例精讲

例如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长.

解:设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,AE的长度为(x-1)m.

在Rt△ACE中,∠AEC=90°,由勾股定理,得AE2+CE2=AC2,

即(x-1)2+32=x2,解得x=5.

故滑道AC的长度为5m.

设计意图:通过例题讲解,及时巩固所学.

巩固训练

1.如图,一圆柱高8cm,底面半径为6πcm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是10cm

2.如图所示,一只蚂蚁在长方体(长10cm,宽5cm,高20cm)的底面上的点A处,蚂蚁想吃到与点A相对的点C处的食物,需要爬行的最短路程是多少?

解:①展开前面和右面,得到长方形ACCA,如图1.在长方形ACCA中,AC=15cm,CC=20cm,则AC2=AC2+CC2=152+202=625;

②展开前面和上面,得到长方形ABCD,如图2.在长方形ABCD中,AB=10cm,BC=25cm,则AC2=AB2+BC2=102+252=725;

③展开左面和上面,得到长方形ABCD,如图3.在长方形ABCD中,AB=30cm,BC=5cm,则AC2=AB2+BC2=302+52=925;

因为925725625,所以最短AC=25cm,所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25cm.

图1图2图3

设计意图:进一步巩固本节课所学内容,让学生