专题2.6 阿氏圆 （隐圆压轴三）（解析版）.pdf

专题2.6阿氏圆

阿氏圆问题

问题：求解“AP+nPB”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“AP+nPB”转化为“AP+PM”问题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，

n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；

第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，

满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．

【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，

∴△POM∽△DOP．

∴MP：PD＝k，

∴MP＝kPD，

∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共

线时有最小值，

利用勾股定理得．

（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，

∴的最小值为．

【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P

是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．

【答案】

【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，

∴，，

∴，

∵∠PBQ＝∠CBP，

∴△BPQ∽△BCP，

∴，

∴PQ＝CP，

∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，

当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，

故答案为：．

【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为

2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）

A．B．6C．2D．4

【答案】A

【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，

又∵∠PCD＝∠BCP，

∴△PCD∽△BCP，

∴＝，

∴PD＝BP，

∴AP+BP＝AP+PD．

要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD

最小，

即：AP+BP最小值为AD，

在Rt△AC