2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 三角形的内角和教学设计.docx

11.2与三角形有关的角

11．2.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和

教学目标

课题

11.2.1第1课时三角形的内角和

授课人

素养目标

探索并证明三角形的内角和定理，学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想．

教学重点

三角形内角和定理及其运用．

教学难点

三角形内角和定理的推理过程.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：提出疑问，启发思维

设计意图

提出问题引发学生思考，为后面证明三角形内角和定理做铺垫.

【问题引入】

我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.

度量法

剪拼法

先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼．看一看，拼成了一个什么角？

如何用推理的方法去验证呢？

【教学建议】

从直观思维到逻辑思维的转变，即是小学到初中的思维方式的转变，此处提问可引起学生的反思，更深刻体会逻辑证明的重要性，方便引入新课.

活动二：动手操作，探究新知

设计意图

通过动手操作，逐步引导学生对三角形内角和定理进行证明，培养学生的演绎推理能力，使学生能熟练地运用演绎推理法解决问题.

探究点三角形内角和定理的证明

探究

通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？

在上面的拼合中，有不同的方法．下面我们来分析一种较为常见的方法：

如图①，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上.

问题1想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？

由“内错角相等，两直线平行”可知l∥BC.

【教学建议】

对于三角形的内角和等于180°的结论，学生在前两个学段已经知道，但当时是通过实验得出的，并没有经过系统的证明．本活动中仍从前两个学段已做过的实验入手，一方面可以激发学生兴趣，另一方面可以使学生从实验中发现证明的思路．讲

教学步骤

师生活动

由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.

已知：△ABC.

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.

∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，

内错角相等)．同理∠3＝∠5.

∵∠1，∠4，∠5组成平角，

∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角的定义).

∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换).

以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.

问题2由图②，你能想出三角形内角和定理的其他证法吗？

图②的拼合方法是将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，说明∠B的一条边是BC的延长线，还出现了一条过点C的直线l，移动后的∠B和∠A各有一条边在l上．由“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”可知l∥AB，进而想出证明三角形内角和是180°的另一种方法：

如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB.

∵l∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5.

∵∠3，∠4，∠5组成平角，

∴∠3＋∠4＋∠5＝180°，

∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.

拓展：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形中，至少有两个锐角，至多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°.

【对应训练】

为了证明三角形的内角和是180°，王老师给出了如图所示作辅助线的方法(过点C作CD∥AB)，请按照这个思路完成证明.

解：∵CD∥AB，

∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.

∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，

∴∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°，

即∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

解的拼合方法，是将三角形的两个内角移到第三个内角的两侧．过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，即可实现上述目的．让学生体会直线l是因为解决问题的需要自然产生的，使三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等，从而得出要证明的结论．教师可以告诉学生，三角形内角和定理的证明方法有很多，但不管哪种方法，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题，这是数学中转化思想的重要体现．注意跟学生强调做题时推理的严谨性和书写的规范性.

活动三：知识升华，巩固提升

设计意图

通过例题讲述引导学生经历使用三角形内角和定理解题的过程，强化知识的掌握

例1(教材P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.

分析：∠ADB是△ABD的一个内角，在△ABD中，B＝75°，如果