2024年北师大版八年级上册教学设计第二章2.7 二次根式.docx

第1课时二次根式及其性质

课时目标

1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.

2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.

3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.

4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.

学习重点

了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.

学习难点

对二次根式的性质的探究.

课时活动设计

问题引入

思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点?

(1)图1的画框为正方形,若面积为8dm2,则边长为?8dm;若面积为Sdm2,则边长为?Sdm.?

(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的35,土地的面积为13m2,则它的长为?653

图1图2

设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.

知识回顾

1.什么叫做平方根?

2.什么叫做算术平方根?

3.什么数有算术平方根?

设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.

探究新知

探究1二次根式的概念

教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.

问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是8,S,653

解:这些式子分别表示8,S,653的算术平方根

问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示?

解:算术平方根分别是b,m+n,

问题3:什么样的数才有算术平方根?

解:只有非负数才有算术平方根.

问题4:这些式子有什么共同特征?

解:①含有“”;②被开方数为非负数.

总结二次根式的概念:一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)

二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“”;②内在特征,被开方数a≥0.

探究2二次根式中字母的取值范围

学生思考,小组交流,回答下列问题.

问题1:使二次根式m-2在实数范围内有意义的m的取值范围是

分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.

解:由m-2≥0,得m≥2.∴当m≥2时,m-2在实数范围内有意义

问题2:使式子2a-1在实数范围内有意义的a的取值范围是

分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零.

解:由a-1≥0,得a≥1.

又∵a-1为分母,∴a-1

∴a-1≠0,即a≠1.

∴当a1时,2a-1

总结二次根式中字母的取值范围的依据:

(1)形如m的二次根式有意义的条件:m≥0.

(2)二次根式作为分式的分母时,如nm有意义的条件:m0

探究3二次根式的性质

观察下列式子,你发现了什么?学生思考,小组交流讨论.

4×9=6;4×9=6;49=23;49=23;2549=5

问题1:你有什么猜想?

解:a·b=a·b(a≥0,b≥0),ab=ab(a

问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.0001)

(1)6×7=,6×7=;(2)67=,67=

解:(1)6.48076.4807(2)0.92580.9258

验证猜想:6×7=6×7,67=6

总结二次根式的性质:

(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.

a·b=a·b(a≥0,b≥0),ab=ab(a

探究4最简二次根式

问题:化简下列二次根式.

(1)81×64;(2)25×6;(3)59

解:(1)81×64=81×64=9×8=72.

(2)25×6=25×6=56.

(3)59=59=

交流:观察化简结果56,53

解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.

小结最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.

化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.

设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.

典例精讲

例1化简:

(1)81×64;(2)25×6;(3)59

解:(1)81×64=81×64=9×8=72.

(2)25×6=25×6=56.

(3)59=59=

例2化简:

(1)50;(2)27;(3)1

解:(1)50=25×2=25×2=52.

(2)27=2×77×7=2×77×7

(3)13=1×33

设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、