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9.9棱锥性质应用

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棱锥组成要素

多边形叫做棱锥底面，其余各面叫做棱锥侧面，相邻侧面公共边叫做棱锥侧棱，各侧面公共顶点叫做棱锥顶点，顶点到底面距离叫做棱锥高。

注意：正棱锥侧面等腰三角形底边上高叫正棱锥斜高

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定理

假如棱锥被平行于底面平面所截，那么截面和底面相同，而且它们面积比等于截得棱锥高与已知棱锥高平方比.

棱锥性质

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棱锥

正棱锥基本性质

（1）各侧棱相等，各侧面都是全等等腰三角形。各等腰三角形底边上高相等，叫做正棱锥斜高。

（2）正棱锥高、斜高和斜高在底面内射影组成一个直角三角形；正棱锥高、侧棱、侧棱在底面内射影也组成一个直角三角形。

（3）正棱锥侧棱与底面所成角都相等，侧面与底面所成二面角都相等。

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O

S

A

B

C

D

E

几个主要直角三角形

1.RtSBO：由高、侧棱和侧棱在底面射影组成

2.RtSMO：由高、斜高和斜高在底面射影组成

3.RtOMB：由底面中心O与底边中点M连线，与半条底边MB，还有中心与底面顶点连线组成

4.RtSMB：由斜高、侧棱、半条底边组成

M

各面都是全等等边三角形三棱锥叫做正四面体。

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达标练习

2.若正三棱锥全部棱长为2，则它斜高为

_____;

3.底面是正方形四棱锥一条侧棱与底面垂直，它

与底面边长相等，长度均为1，那么该四棱锥中最长

侧棱长为

_______

。

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棱锥

例1：已知：正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱与底面所成角为。求（1）正四棱锥侧棱和斜高.

E

O

x

y

z

变式1：计算本题中棱锥侧面与底面

所成角。

变式2：计算面是SCB与面SCD所

成角。

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例2如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD正方形，侧面VAD

是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。

(1)证实AB⊥平面VAD;

(2)求面VAD与面VDB所成二面角大小。

.E

总结：（1）面面垂直性质是证实

线面垂直主要方法；

（2）三垂线定理法是作二面

角平面角最惯用方法；

（3）向量法也是处理二面角

惯用方法。

x

y

o

z

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拓展练习1：正四棱锥V-ABCD底面边长与侧棱长之比为

，过底面一条对角线作和一条侧棱平行截面，求

截面和底面所成二面角大小。

O

P

解：设△BPD是四棱锥V-ABCD中与侧棱平

行截面，O是下底面中心，OP∥VA

∵VO⊥平面ABCD，AO是斜线VA在底面

ABCD内射影

又∵OA⊥BD,∴由三垂线定理得VA⊥BD

∴OP⊥BD,又∵AC⊥BD

∴∠POC(或其补角)是截面与底面所成角

设AB=a,因为

即

∴

所以

从而

所以截面与底面所成二面角大小为或。

x

y

z

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小结

棱锥定义

有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点三角形，由这些面所围成几何体叫做棱锥．

棱锥相关概念、表示方法、分类

正棱锥性质

（1）各侧棱相等,各侧面都是全等等腰三角形

（2）棱锥高、斜高、斜高在底面内射影组成一个直角三角形；棱锥高、侧棱、侧棱在底面内射影也组成一个直角三角形

正棱锥:假如一个棱锥底面是正多边形，而且顶点在底面内射影是底面中心，这么棱锥叫做正棱锥．

棱锥性质

假如棱锥被平行于底面平面所截，那么截面和底面相同，而且它们面积比等于截得棱锥高和已知棱锥高平方比．

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