专题2.6 阿氏圆 （隐圆压轴三）（原卷版）.pdf

专题2.6阿氏圆

阿氏圆问题

问题：求解“AP+nPB”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“AP+nPB”转化为“AP+PM”问题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，

n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；

第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，

满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．

【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P

是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为．

【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为

2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（）

A．B．6C．2D．4

【变式1-3】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，

且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（）

A．6B．8C．10D．12

2

【变式1-4】如图，已知抛物线y＝﹣x+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B

的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一

点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．

【变式1-5】（西峡县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点

E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上

的动点，则的最小值等于（）

A．4B．C．D．

【变式1-6】（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC

＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的

中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．

【变式1-7】（龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝

4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是

⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为．

【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△

ABC内一动点，且满足CD＝2