专题2.8 勾股定理的应用（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）.pdfVIP

专题2.8勾股定理的应用

【典例1】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围

内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一

海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周

围250km以内为受影响区域．

（1）求证：∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【思路点拨】

（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；

（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

【解题过程】

解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，

222

∴AC+BC＝AB．

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°；

（2）海港C受台风影响．

理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D．

11

∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，

22

⋅300×400

∴CD===240（km），

500

∵250＞240，

∴海港C受到台风影响；

（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口．

在Rt△CED中，由勾股定理得

ED=2―2=2502―2402=70（km），

∴EF＝140km，

∵台风的速度20km/h，

∴140÷40＝3.5（h）．

∴台风影响该海港持续的时间3.5h．

1．（2021秋•阜宁县期中）中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根

六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵

地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？

【思路点拨】

根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．

【解题过程】

解：如图．设折断处离地面的高度x尺，

则AB＝（10﹣x）尺，BC＝6尺．

222

在Rt△ABC中，AC+BC＝AB，

222

即x+6＝（10﹣x），

解得：x＝3.2，

即折断处离地面的高度3.2尺．

2．（2021秋•钢城区期末）如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附

近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂BC之间的距离

是多少？

【思路点拨】

直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，根据勾股

定理即可得出答案．

【解题过程】

解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，

∴∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝4（km），

∴BC=2―2=42―22=23（km）．

故学校与工厂BC之间的距离是23km．

3．（2021秋•大丰区期末）如图，一个直径20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯

子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．

【思路点拨】

设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程

求解．

【解题过程】

解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，

∵杯子的直径20cm，

∴杯子半径10cm，

222

∴x