2024～2025学年度八年级数学上册14.3.1 提公因式法教学设计.docx

14.3因式分解

14．3.1提公因式法

教学目标

课题

14.3.1提公因式法

授课人

素养目标

1.了解因式分解与整式乘法之间的关系.

2.了解因式分解的概念和提公因式法，能确定多项式各项的公因式，并能用提公因式法进行因式分解.

3.在探索因式分解的概念和提公因式法因式分解的过程中体会逆向思维，并启发学生用类比的思想方法思考现实世界.

教学重点

掌握用提公因式法把多项式分解因式．

教学难点

正确地确定多项式的最大公因式.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：回顾导入，引出新课

设计意图

因式分解与整式的乘法是相反的变形，回顾整式的乘法计算为学习本节课做铺垫.

【回顾导入】

计算：

(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(a－b)2＝a2－2ab＋b2；

x(x＋1)＝x2＋x；

(x＋1)(x－1)＝x2－1.

利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时候也需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，具体是怎样转化的呢？就让我们一起进入今天的学习吧！

【教学建议】

学生独立完成练习，互相订正.

活动二：实践探究，获取新知

设计意图

通过跟活动一计算的对比练习，让学生用已有知识解决问题，体会到数学知识带来收获的愉悦感．经历从整式乘法到因式分解的变形过程，让学生感悟数学中的逆向思维.

探究点1因式分解的概念

将下列多项式写成整式的乘积的形式：

a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；

a2－2ab＋b2＝(a－b)2；

x2＋x＝x(x＋1)；

x2－1＝(x＋1)(x－1).

参照活动一中的计算，我们把式子反过来变形了，现在这些等式的左边是多项式，等式的右边是因式的积的形式.

概念引入：

我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

问题因式分解与整式乘法有什么联系与区别？

联系：

因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即

【教学建议】

这是本章的理论基础，各种因式分解的方法都是以此作为基础而推导出来的．教学中要紧紧抓住这一关键性的关系式.

要注意让学生区分因式分解与多项式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中，半路又做整式乘法的错误.

教学步骤

师生活动

例下列各式从左到右的变形是否为因式分解？

(x＋1)(x－1)＝x2－1；②7x－7＝7(x－1)；

③x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y);④2x(x－3y)＝2x2－6xy；

⑤y2＋x2－4＝y2＋(x－2)(x＋2).

解：①④⑤不是因式分解，②③是因式分解.

【对应训练】下列各式从左到右的变形是因式分解的是③.(填序号)

(m＋3)(m－3)＝m2－9;②x2－9x＝x(x＋3)(x－3)；

③y2－4y＋4＝(y－2)2;④a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1.

【教学建议】

教师提醒学生因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.

设计意图

由学生发现，归纳总结得到公因式的结构组成，让学生体会到自主探究的乐趣．从已学过的分配律得出提公因式法的计算方法，训练学生的逆向思维．例题从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思维.

探究点2提公因式法

公因式问题1观察下列多项式有何共同特点？

概念引入：

我们把多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.

问题2找公因式的方法是什么呢？请大家从系数、字母、指数三个方面以小组讨论的方式说一说！

教师归纳

比如：多项式pa＋pb＋pc的公因式是p.

提公因式法

根据分配律有：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，把这个式子反过来表示，即可得pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c).

这样就把pa＋pb＋pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商.

概念引入：

下面我们来看两个例题：

例1(教材P115例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式.

分析：①一看系数：8与12的最大公因数是4；

二看字母：a3b2和ab3c的相同字母有a和b；

三看指数：a的最低指数是1，b的最低指数是2；所以公因式是4ab2.

【教学建议】

多项式各项的公因式的概念是学习用提公因式法分解因式的关键，教学时一定要强调多项式“各项都含有的公共的因式”，否则就不是多项式的公因式.

【教学建议】

这里把公因式p提到括号外面，相当于用公因式p去除已知多项式，所得的商式就是另一个因式，再把多项式写成这两个因式的积．教学时，根据分配律来说明把各项的公因式提到括号外面即可，不必说明用公因式去除各项的方