2024秋季深圳外国语高三数学入学考试试卷答案.docx

深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试

数学参考答案：

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【详解】，A、B错误；，C正确；

不正确，D错误.故选：C.

2．D

【详解】由，所以，故选：D.

3．A

【详解】令，则，

所以，故选：A.

4．B【详解】因为所以，

又不能推出或；但若“或”，则一定有，

所以“”是“或”的必要不充分条件，故选：B.

5．B

【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，

所以，即，则

记，则，

两式相加得，

所以，即.故选：B.

6．A

【详解】，设，则，所以，则，

故，所以，则直线的倾斜角，

所以直线的斜率，

所以直线的方程为，

联立，消得，

，

设，则，所以.

?故选：A.

7．D

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：D．

??8．B

【详解】由题意可得，即，所以，

又，所以在上单调递增，即，所以，

且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，

所以，，所以.故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．BCD

【详解】对于A，，故，

所以在和上，，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，故A错误；

对于D，由A知，函数的极大值为，

极小值，则，故D正确；

对于B，，

结合函数在的单调性可知：，故B正确；

对于C，，

所以，

故函数图象关于点中心对称，故C正确.故选：BCD

10．BCD

【详解】所有可能的方法有种，A错误.

对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则有种安排方法，B正确.

对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.

对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.

故答案为：BCD

11．ABD

【详解】对于A，根据题意，，设直线，

又因为直线与圆相切于点，

所以，

A正确；

对于B，根据题意可知，可得，

所以直线是的一条渐近线，B正确；

对于C，若，根据题意，联立，解得，

同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误；

对于D，设，依题意知，则，

故，得，

故，代入，得，

所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确；

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（为正整数）

【详解】由递推关系得，又，

（为正整数）．故答案为：（为正整数）．

13．

【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，

图象所对应解析式为：，

因为图象关于轴对称，所以，，

可得，，又，所以，即，

要使在上的最小值为，则在上的最小值为，

当时，，又，

所以，解得，即的最大值是.故答案为：

14．

【详解】由函数，令，可得，

即，因为，所以，所以，

可得或，即或，

令，，可得，，

当时，可得，在单调递增，且；

当时，且；

当时，可得，在单调递减；

当时，可得，在单调递增，且，

又当时，，，

当时，且；

作出函数的图象，如图所示，

要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，

结合图象，可得或，即实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，

故．

16．【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：

，点是的中点，，

又是的中点，，

又在直三棱柱中，有，平面

，平面，

平面，且面，平面平面，，

平面，且平面，，

又，且、平面，

平面，又，平面，

又ME?平面，面平面.

（2）由（1）知平面，则，设，则，，，，

由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，

此时，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则有，，，，，

，，，设平面的一个法向量为，

则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，，

故直线与平面所成角的正弦值为.

17．【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，

所以．

所以一次数据能被软件准确分析的