2024-2025学年度九年级数学上册第22章二次函数（3）重难点讲解（2024新教材）.docx

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第22章二次函数(3)——重难点

内容范围：22.3-22.3

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1.销售问题中常见的数量关系

利润=售价—进价，总利润=单位利润×数量，售价=标价×折扣，利润=进价×利润率；

2.构建函数模型

通常以价格（或数量）为自变量，以总利润为因变量，构建二次函数；

例1.

1．某商品每个售价50元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出10个，若售价每提高元，则日销售量为个．设每天利润为元，商品进价每个为40元，则与的函数解析式是．要使日利润达到最大，则每个售价应定为元．

例2.

2．某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．

(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；

(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；

(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．

变式1．

3．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：

x

…

20

26

28

31

35

…

y

…

20

14

12

9

5

…

(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；

(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．

①求2023年该特产的售价；

②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大?最大利润是多少?

变式2．

4．某公司采用两种方式经营商品的销售业务，

方式一：将商品精包装后直接销售；

方式二：将商品深加工得到商品后再销售．

已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本）

商品

（吨）

（万元）

（万元）

2月

3

9

3

3月

10

30

10

(1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值；

(2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．

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1.抛物线型模型

模型名称

模型基本图

建模技巧

自变量

因变量

函数解析式

拱桥模型

水面宽的一半

水面的相对拱桥面的高度

选非原点的一个点的坐标，代入求解

投球模型

球行进的水平距离

球行进的高度

确定三个点的坐标，用待定系数法求解

喷水模型

水喷出的水平距离

水喷出的竖直高度

确定三个点的坐标，用待定系数法求解

大棚模型

离中心的水平距离

离地面的高度

确定二个点的坐标，代入求解

绳子模型

离小明的水平距离

离地面的竖直高度

确定三个点的坐标，用待定系数法求解

2.解题的一般步骤：建立平面直角坐标系→求函数解析式→利用二次函数与方程解决问题；

例1.

5．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为

例2.

6．上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60