专题2.6 勾股定理与动点问题（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）.pdf

专题2.6勾股定理与动点问题

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，

按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts．

（1）求BC上的高；

（2）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．

【思路点拨】

（1）过点A作AH⊥BC于H，利用勾股定理即可求出AH的长；

（2）首先利用勾股定理求出CD的长，由△CDP是等腰三角形进行分类，分别是CP＝CD，DC＝DP，PD

＝PC三种情形，分别求出PC的长即可解决问题．

【解题过程】

解：（1）过点A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

1

∴BH=BC＝15（cm），

2

在Rt△ABH中，由勾股定理得，

AH=2―2=252―152=20（cm），

∴BC上的高为20cm；

11

（2）由S△ABC=×BC×AH=×AC×BD得，

22

30×20＝25×BD，

∴BD＝24cm，

在Rt△BDA中，由勾股定理得，

AD=2―2=7（cm），

∴CD＝CA﹣CD＝25﹣7＝18（cm），

①当CP＝CD＝18cm时，t＝（25+25+30﹣18）÷2＝31；

②当DC＝DP时，过点D作DF⊥BC于F，

×24×1872

由面积法得，DF===（cm），

305

7254

由勾股定理得，CF=2―2=182―(5)2=5（cm），

108

∴PC＝2CF=（cm），

5

108

∴t＝（25+25+30―）÷2＝29.2；

5

54

③当PD＝PC时，设PC＝xcm，则PF＝（x―）cm，

5

在Rt△PDF中，由勾股定理得，

5472

2―2+()2

x＝（x），

55

解得x＝15，

∴PC＝15cm，

∴t＝（25+25+30﹣15）÷2＝32.5，

综上：t＝31或14.2或32.5．

1．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则

AP+BP+CP的最小值是（）

A．14.8B．15

C．15.2D．16

【思路点拨】

利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．

【解题过程】

解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC=2+2=62+82=10，

∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，

⋅24

根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP===4.8，

5