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2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题
（高一组）
（考试时间120分钟满分120分）
题号
一
二
三
四
合计
得分
复核人
得分
评卷人
一、填空题（本小题满分64分，每小题8分）
已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为
已知，则的最大值为
已知函数，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是
定义为中的最大值，设，则的最小值为
若区间满足：①函数在区间上有定义且单调；②函数在区间上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间.函数的一个共鸣区间为；若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是
已知的三边为，满足，则的面积为
若函数与坐标轴有三个交点，且的外心在上，则；
“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，、、的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是（填序号）
①是的外心；②；
③；④
得分
评卷人
二、（本大题满分16分）
已知均为正实数，且.
求证：；
求证：.
得分
评卷人
三、（本大题满分20分）
10.下图是函数的部分图像，是与轴的两个不同交点，是图像的最高点且横坐标为，点是线段的中点.
（1）求函数的解析式及在内的单调增区间；
（2）当时，函数的最小值为，
求实数的值.
得分
评卷人
四、（本大题满分20分）
11.已知集合；
若，判断是否为中的元素，并说明理由；
若，且，求实数的取值范围；
若，其中，且，求的最小值.
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