【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭006-不等式、推理与证明.doc

第六章不等式、推理与证明

第一节不等关系与不等式

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b＞0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?ab.

2．不等式的根本性质

性质

性质内容

注意

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

c的符号

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

同向可加性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,cd))?a＋cb＋d

?

同向同正可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0,cd0))?acbd

?

可乘方性

ab0?anbn(n∈N，n≥2)

同正

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)

1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bc?ac.

2．在乘法法那么中，要特别注意“乘数c的符号〞，例如当c≠0时，有ab?ac2bc2；假设无c≠0这个条件，ab?ac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝〞)．

[试一试]

1．(2024·北京高考)设a，b，c∈R，且ab，那么()

A．acbc B.eq\f(1,a)eq\f(1,b)

C．a2b2 D.a3b3

解析：选D由性质知选D.

2.eq\f(1,\r(2)－1)________eq\r(3)＋1(填“〞或“〞)．

解析：eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1＜eq\r(3)＋1.

答案：

1．不等式的倒数性质

(1)ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

(2)a0b?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

(3)ab0,0cd?eq\f(a,c)eq\f(b,d)；

(4)0axb或axb0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).

2．不等式的分数性质

(1)真分数的性质：

eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)；

(2)假分数的性质：

eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)．

[练一练]

假设0ab，c0，那么eq\f(b＋c,a＋c)与eq\f(a＋c,b＋c)的大小关系为________．

答案：eq\f(b＋c,a＋c)eq\f(a＋c,b＋c)

考点一

比拟两个数(式)的大小

1.a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，那么M与N的大小关系是

A．MN B．MN

C．M＝N D．不确定

解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2－1

＝a1a2－a1－a2

＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，

又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，

∴a1－10，a2－10.

∴(a1－1)(a2－1)0，即M－N0.

∴MN.

2．假设实数a≠1，比拟a＋2与eq\f(3,1－a)的大小．

解：a＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)

∴当a1时，a＋2eq\f(3,1－a)；

当a1时，a＋2eq\f(3,1－a).

[类题通法]

比拟大小的常用方法

(1)作差法：

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法：

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．

(3)特值法：

假设是选择题、填空题可以用特值法比拟大小；假设是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．

注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否那么极易得出相反的结论．

考点二

不等式的性质

[典例](1)(2024·太原诊断)“a＋cb＋d〞是“ab且cd〞的()

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分必要条件 D．必要不充分条件

(2)假设a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，那么以下结论：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析](1)由“a＋cb＋d〞不能得知“ab且cd〞，反过来，由“ab且cd〞可得知“a＋cb＋d〞，因此“a＋cb＋d〞是“ab且cd〞的必要不充