2024～2025学年度八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题教学设计.docx

13.4课题学习最短路径问题

教学目标

课题

13.4课题学习最短路径问题

授课人

素养目标

1.掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识.

2.通过轴对称变换、平移变换体会转化思想.

教学重点

利用轴对称变换及平移变换解决最短路径问题．

教学难点

确定最短路径及其理论说明.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：回顾旧知，引入新课

设计意图

对过往知识进行回顾，为本课时学习做铺垫.

【情境引入】

观察图①②.

我们以前学过：

(1)“两点的所有连线中，线段最短”；

(2)“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”.

我们称这种问题为最短路径问题.

今天我们将探究新情境下的最短路径问题.

【教学建议】

让学生根据图片展示，完成填空.

活动二：类比转化，解决问题

设计意图

借助恰当的工具，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题(两点之间，线段最短)，提升解决实际问题的能力.

探究点1利用轴对称解决最短路径问题(“将军饮马”问题)

如图①，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l

饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，

可使所走的路径最短？

提问：

(1)你能组织语言，把这个问题抽象为数学问题吗？

可抽象为这样的数学问题：如图②，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

(2)两点在同侧我们不太好入手，先看看两点在异侧的情况：如图③，点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最小？依据是什么？

如图④，连接AB，交直线l于点C，则AC＋BC最小．依据：两点之间，线段最短.

【教学建议】

这里教师引导学生回答，不断补充，最后达成共识：

(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最短的直线l上的点．设C为直线l上的一个动点，实际问题就转化为数学问题了.

教学步骤

师生活动

设计意图

通过严格的证明，让学生确信所找的点C是符合要求的.

(3)现在我们回过头去解决图②中两点在同侧的情形，即：点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

如图⑤，我们可作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到B′C＝BC.则AC＋BC＝AC＋B′C.问题再次转化为：当点C在l的什么位置时，AC与B′C的和最小？

(4)根据上面的分析，当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小？

如图⑥，在连接A，B′两点的所有线段中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求，即此时AC＋BC也最小．

(5)你能用所学的知识证明：上面求得的点C，使AC＋BC最小吗？

证明：如图⑦，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.

由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.

∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，

AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

∴AC＋BC＜AC′＋BC′，即AC＋BC最小．

归纳总结：

【对应训练】

如图，A，B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，同时将河水分别送到A，B两地．该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短？试在图中确定该点(保留作图痕迹)．

解：如图，点P即为该点．

【教学建议】

要一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路．

对于第(3)问，学生回答可能会有困难，教师可提问引导：

如何将(3)中的点B“移”到l的另一侧B′处，使直线l上的任意一点C，都满足BC与B′C的长度相等？

【教学建议】

证明AC＋BC最小也是一个难点，可以告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”量进行比较来证明．学生可能会对于只选一个C′不放心，教师可以让学生再选一个C″证明一次，这时学生会发现，证明过程中，点C′在什么位置并不影响结论．

教学步骤

师生活动

设计意图

通过更复杂的最短路径问题，进一步体会转化思想的应用.

探究点2利用平移解决最短路径问题(造桥选址问题)

如图①，A和B两地在一条河的两岸，现要在河岸上

造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB

最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)

提问：

(1)你能把它抽象为数学问题吗？

把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，