2024～2025学年度八年级数学上册14.2.1 平方差公式教学设计.docx

14.2乘法公式

14．2.1平方差公式

教学目标

课题

14.2.1平方差

授课人

素养目标

1.理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

2.经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景.

3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.

教学重点

平方差公式的推导和应用.

教学难点

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：创设情境，导入新课

设计意图

以生活中的趣味数学问题引入，激发学生强烈的好奇心和求知欲.

【情境导入】

问题王先生去商店买了单价9.8元的糖果10.2kg，售货员刚拿起计算器，王先生就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相同.售货员惊讶地问：“你怎么算得这么快?”王先生说：“我利用了一个公式.”你知道王先生用的是什么数学公式吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.

【教学建议】

教师可通过课件展示问题，组织学生展开讨论，鼓励学生发言，锻炼学生的表达能力.

活动二：实践探究，获取新知

设计意图

1.让学生运用前面已掌握的多项式乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备.

2.由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力.

探究点平方差公式

探究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

(1)(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1；

(2)(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m2-4；

(3)(2x+1)(2x-1)=4x2-2x+2x-1=4x2-1.

发现：等号左边是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘，根据多项式乘多项式的法则有：

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即

(a+b)(a-b)=a2-b2.

怎么用文字来描述呢？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

这个公式叫做（乘法的）平方差公式.

思考

你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？

【教学建议】

正确运用平方差公式的关键，除了要掌握这一公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义.在目前，可以向学生说明公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等式子.只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式.

由于学生的认知能力有一个发展过程，理解字母的广泛含义也要由易到难地逐步安排.教学时，不要操之过急.

教学步骤

师生活动

3.通过操作图形变换，让学生建立形与数的联系，培养学生的几何直观.

分析：

(1)图①中阴影部分的面积为a2－b2；

(2)将阴影部分拼成图②的一个长方形，这个长方形的长是a＋b，宽是a－b，面积为(a＋b)(a－b).

问题比较前面(1)(2)中的结果，你有什么发现？

根据拼接前后阴影部分的面积不变，可以得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

这就是平方差公式的直观的几何意义.

例(教材P108例1)运用平方差公式计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y).

分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

解：(1)(3x＋2)(3x－2)

＝(3x)2－22

＝9x2－4；

(2)(－x＋2y)(－x－2y)

＝(－x)2－(2y)2

＝x2－4y2.

思考你还有其他的计算方法吗？

所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算.

【对应训练】教材P108练习第1，2(1)(2)题.

【教学建议】

解决思考中的问题时，教师可给同学分发图①和图②的纸片，让学生动手操作，剪一剪，拼一拼，帮助学生理解.

还需提醒学生，平方差公式的几何意义就是用两种方式表示相同的面积.

【教学建议】

教师引导学生识别是否符合平方差公式的条件，这是运用平方差公式的关键．其结构特征为：①等号左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②等号右边是乘式中两项的平方差(即相同项的平方减去互为相反数的项的平方)，为了识别这两个数，有时候需要变形.

【教学建议】

用“”比较直观地指出公式中的字母a，b分别代表3x和2，充分利用直观讲解，会取得较好效果，在教学中要予以足够的重视.

活动三：典例精析，巩固提高

设计意图

“精讲精练”，让学生在训练中掌握巩固对平方差公式的应用.

例(教材P108例2)计算：

(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.

解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)

＝y2－22－(y2＋4y－5)

＝