2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 分式方程及其解法教学设计.docx

15.3分式方程

第1课时分式方程及其解法

教学目标

课题

15.3第1课时分式方程及其解法

授课人

素养目标

1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.

2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.

3.在将分式方程转化为整式方程，找解分式方程的方法中培养学生乐于探究、合作学习的习惯.

教学重点

解分式方程的基本思路和方法．

教学难点

理解解分式方程时可能无解的原因.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：创设情境，引入新知

设计意图

通过经历列分式方程的过程发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，激发学生的探究欲与学习热情，为探索分式方程的概念和解法做准备.

【情境引入】

问题一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿

江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航

行60km所用时间相等，江水的流速为多少？

如果设江水的流速为vkm/h，则

(1)轮船顺流航行的速度为(30＋v)km/h，逆流航行的速度为(30－v)km/h；

(2)顺流航行90km所用的时间为eq\f(90,30＋v)h，

逆流航行60km所用的时间为eq\f(60,30－v)h；

(3)根据题意可列方程为：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).

思考方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)与以前所学的整式方程有何不同？

【教学建议】

教师呈现问题后，需留充足的时间让学生独立思考，教师主导，学生自主研究，让学生切实体会自我探索后得出结论的成就感.

活动二：实践探究，获取新知

设计意图

通过回忆一元一次方程的概念引出分式方程的概念，并通过例题巩固加深对概念的理解.

探究点1分式方程的概念

问题1大家回忆一下，什么是一元一次方程？

只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数为1(次)的整式方程叫做一元一次方程．如：3x－5＝3.

问题2观察活动一中所列方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)有什么特征？

答：分母中含有未知数v.

概念引入：

像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.

例判断下列方程是不是关于x的分式方程

.(1)1－eq\f(1,x)＝2－eq\f(2,x)；(2)eq\f(a,x2－4)＝7；

(3)eq\f(x,π)＋ax＝b;(4)eq\f(a＋x,b)＝eq\f(b－x,n)＋6.

解：(1)是．(2)是．(3)不是．(4)不是.

【教学建议】

教师强调：

1.分式方程应满足的条件(缺一不可)：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.

2.判断分式方程是对原方程本身做判断，而不是变形后.

3.并不是分母含字母的就是分式方程，如例(4)中分母含字母，但不是未知数；例(3)含字母π，但π是常数，不是未知数.

教学步骤

师生活动

【对应训练】下列方程中，a，b为已知数，x为未知数：

eq\f(x,2)＋eq\f(x,3)＝eq\f(1,4)；②eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x)＝4；③eq\f(x,a)＋eq\f(a,b)＝x；④eq\f(5,x2－1)＋2＝eq\f(x－1,x2＋1)；⑤eq\f(x2,x)＝0.

其中关于x的分式方程有哪几个？

解：关于x的分式方程有②④⑤.

设计意图

由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，在构建知识体系的过程中得到再一次的提升.

设计意图

通过此具体例子展现解分式方程可能出现増根的现象，并结合例子分析何种情况下产生増根，进而归纳检验増根的方法，这样处理是想以典型例子为示范，简明地说明检验増根的方法，以及这样做所依据的道理，做到既说明做法的合理性，又适可而止，不超越学生的实际理解水平.

探究点2分式方程的解法

问题1七年级我们已经熟悉一元一次方程的解法了，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题．能否将分式方程化为整式方程呢？我们先来看看如何解这个方程：eq\f(2－3x,3)－2＝eq\f(x＋2,6).

第一步就是方程两边同时乘公分母6，去掉分母，那么通过类比，我们自然会想到通过“去分母”实现分式方程的转变，所以大家可以尝试着解一解活动一中所列的方程！

解方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).

解：最简公分母为(30＋v)(30－v)，方程两边同时乘最简公分母可化为整式方程，

得90(30－v)＝60(30＋v).

化简，得2700－90v＝1800＋60v(此方程是整式方程).解方程得v＝6.

教师归纳解分式方程的基本思路是将分式方