考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷22(题后含答案及解析).docVIP

考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷22(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=________。

正确答案：一1

解析：根据题意，β1(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即，因此可知，当a=一1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=－1。知识模块：向量

2．曲线直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为__________。

正确答案：

解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图1—3—10所示，x的积分从1到2。知识模块：一元函数积分学

3．=________．

正确答案：3涉及知识点：高等数学

4．设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一xxT的秩为__________.

正确答案：2

解析：由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E—xxT的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E一xxT)=2．知识模块：向量

5．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为________。

正确答案：

解析：f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)所以原二次型矩阵为。知识模块：二次型

6．实对阵矩阵A与矩阵B=合同，则二次型xTAx的规范形为_________。

正确答案：y12+y22一y32

解析：矩阵A与B合同，说明二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。矩阵B的特征多项式为｜λE一B｜==(λ一2)(λ2一1)，所以矩阵B的特征值为1，2，一1。于是二次型xTBx的正惯性指数2，负惯性指数1，故二次型xTAx的规范形是y12+y22一y32。知识模块：二次型

7．交换积分次序

正确答案：

解析：知识模块：高等数学

8．设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是_________。

正确答案：a＜0

解析：BT=(一aE+ATA)T=一aE+ATA=B，故B是一个对称矩阵。B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT(一aE+ATA)x=一axTx+xTATAx=一axTx+(Ax)TAx＞0，其中(Ax)T(AX)≥0，xTx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。知识模块：二次型

9．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=_____________。

正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx

解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。知识模块：常微分方程

10．设f(x)在x=0处连续，且则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为___________．

正确答案：

解析：方法一由极限与无穷小的关系，有其中于是因所以由于f(x)在x=0处连续，所以所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y一f(0)=f’(0)(x一0)，即方法二将sinx按皮亚诺余项泰勒公式展至n=3，有代入原极限式，有可见即有于是以下与方法一相同．知识模块：一元函数微分学

11．∫x2sin2xdx=___________．

正确答案：，其中C为任意常数

解析：知识模块：一元函数积分学

12．设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B-A｜=-4，则｜E-ABT｜=_______．

正确答案：-4

解析：｜A｜＜0｜A｜=-1．｜E-ABT｜=｜AAT-AB｜=｜A｜｜(A-B)T｜=-｜A-B｜=｜B-A｜=-4．知识模块：线性代数

13．已知B是三阶非零矩阵，且BAT=O，则a=__________。

正确答案：

解析：根据BAT=0可知，r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3.又因为B≠0，因此r(B)≥1，从而