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积分上限函数的性质及应用--第1页
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数（即变上限的定积分）揭露了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学
中的一个重要观点.
积分上限函数拥有好多的性质，既拥有一般函数相像的特点，因为它的上限是变化的，因此又
有很多与积分相关的特别性质.本文第一总结概括出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详
细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的详细应用.
1积分上限函数
1.1积分上限函数的定义[1](P220)
f(x)[a,b]x[a,b]f(x)[a,x]
设函数在区间上可积，对任何,在上也可积.于是，由
x
F(x)f(t)dt,x[a,b],定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限
a
的定积分.
1.2积分上限函数的几何意义[2](P350)
x[a,b]f(x)0[a,b]xF(x)[a,x]
假如，有函数，对区间上随意，积分上限函数是区间上
曲边梯形的面积，以下列图的暗影部分.
y
yf(x)
φF(x))
0b
axx
图1.1
1
积分上限函数的性质及应用--第1页
积分上限函数的性质及应用--第2页
1.3积分上限函数的性质
积分上限函数的连续性[1](P221)
若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分上限函数F(x)在区间[a,b]上连续.
证x[a,b],且xx[a,b]，有
F(x)F(xx)F(x)xxf(t)dtxf(t)dtxxf(t)dt
aax
因为f在[a,b]上可积，因此f在[a,b]上有界，
即存在正数M，使得f(x)M，x[a,b]，
当x0时，F(x)xxf(t)dtxxf(t)dtMx
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