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2024年研究生考试考研数学(三303)模拟试题(答案在后面)
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
2、设函数fx=e
A.x
B.x
C.x
D.x
3、设函数fx=x
A.x=?
B.x=?
C.x=1
D.x=0
4、设函数fx
A.x=0
B.x=0
C.x=1
D.x=0
5、设函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
6、设函数fx=ex?x，若
A.1
B.e
C.e
D.e
7、设函数fx=ln1
A.0
B.1
C.2
D.1
8、设函数fx=11+x2
A.0
B.1
C.-1
D.1
9、设函数fx=ln
A.1
B.1
C.1
D.1
10、设函数fx=exsinx，其中x是自变量。若
A.1
B.0
C.1
D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
1、设函数fx=ex?1x（
2、若函数fx=exx2
3、设函数fx=ex2，若fx的二阶导数f″x
4、设函数fx=x3
5、设函数fx=1x2+2x
6、设函数fx=x2
三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）
第一题
已知函数fx=ex?
（1）求函数fx在区间0
（2）证明：对于任意x∈0,
第二题
设函数fx=ex2sinx，其中x为自变量。求f
第三题
已知函数fx
（1）求函数fx
（2）求函数fx
（3）画出函数fx
第四题
设函数fx=ex2sinx
第五题
设函数fx=1
（1）求fx的导数f
（2）求函数fx
（3）证明：当x0时，
第六题
已知函数fx=x3?
第七题
题目：设函数fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且满足
证明存在ξ∈0,
解答：
为了证明题目中的结论，我们可以考虑利用微分中值定理、柯西-施瓦茨不等式以及题目给定的条件。下面给出详细步骤。
首先，根据拉格朗日中值定理，由于fx在0,1上连续，在0,
接下来，我们构造一个辅助函数来应用柯西-施瓦茨不等式。设gx=x?fx.显然，g0=0?
现在考虑积分0
展开后得到0
注意到01f′x
接下来，我们用柯西-施瓦茨不等式：
0
另一方面，0
假设对于所有的x∈0,1
但这与上述通过柯西-施瓦茨不等式得出的结果矛盾（因为如果始终小于2，则平方后不可能达到3）。因此，必存在某一点ξ∈0
由于f′η=1对于某个η∈0,1成立，结合f′x的连续性，可以推断出在0,1内必然存在一点ξ使得f′
综上所述，我们已经证明了存在ξ∈0,
2024年研究生考试考研数学(三303)模拟试题及答案指导
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
【答案】C
【解析】为了找到函数fx=x
f
令f′x=0解得
首先检查端点处的函数值：
当x=0时，
当x=3时，
然后考虑临界点：
当x=
当x=2时，我们可以使用二阶导数测试来确定其性质。计算得f″x=6x?6
因此，函数fx在给定区间0,3
此外，我们还可以通过观察一阶导数f′x=3xx?2的符号变化进一步确认：当x
综上所述，本题的答案是C.x=
2、设函数fx=e
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：B
解析：
首先，我们需要找到函数fx的导数f
f
为了找到极值点，我们需要解方程f′
e
这个方程比较难直接求解，但我们可以通过观察选项来简化问题。我们知道ex是一个始终大于0的函数，而?2x是一个线性函数。因此，当x=1时，?2x的绝对值小于e1，这意味着
为了确定x=1是极小值点还是极大值点，我们需要检查f′
当x1时，f′x=
当x1时，f′x会从正变为负，因为
由于f′x在x=1处由负变正，这表明x=1
3、设函数fx=x
A.x=?
B.x=?
C.x=1
D.x=0
答案：A
解析：首先求出函数fx的导数f
f
令f′
3x2?
然后求出这两个点的二阶导数f″
f
当x=?1时，f
当x=1时，f″
所以，fx的极值点为x=?1和
4、设函数fx
A.x=0
B.x=0
C.x=1
D.x=0
答案：A
解析：
首先求导f′
令f′x=0，解得
接下来求二阶导数f″
将x=0代入f″x，得
将x=2代入f″x，得
因此，函数的极值点为x=0和
5、设函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：D
解析：
首先，求出函数fx
f
然后，令f′
3x2?
接下来，检查这两个点的左右导数符号变化，以确定它们是极大值点还是极小值点。
对于x=
f′?1=3?
当x?1
当x?1
因此，x=
对于x=
f′1=312
当x1时，
当x1时，
因此，x=
由于题目问的是极值点，并且只有x=2不是fx的极值点，所以正确答案是
6、设
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