05第十章-习题课.ppt

*解：积分域是圆域，关于x,y轴对称*例2.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,在在上上*例3.计算二重积分其中(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性围成.*(2)积分域如图将D分为添加辅助线例3.计算二重积分(2)D由直线围成.其中利用对称性,有*使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．*解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,*解***例6解利用球面坐标*例7证*例8.设在上连续,证明证:左端=右端*求均匀球体（体密度为1）绕轴的转动惯量。方法1：方法2：（先二后一）*例10.设存在,求其中:解:在球坐标系下利用洛必达法则,得*用四种方法计算，其中为在第一卦限的部分解：方法1：(用直角坐标计算）*方法2：（用柱坐标计算）方法3：（用球坐标计算）*方法4：（用“先二后一”计算）*测验题********测验题答案*第十章习题课**定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容*1、二重积分的定义*２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．*性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质*性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地*性质６性质７（二重积分中值定理）*４、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下*Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］*（２）极坐标系下**5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积*当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心*薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量*薄片对轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力*6、三重积分的定义*7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．*9、三重积分的计算(１)直角坐标*(２)柱面坐标*(３)球面坐标*10、三重积分的应用(１)重心*(２)转动惯量*二、典型例题例1解X-型*例2解先去掉绝对值符号，如图**更换二次积分的次序,解：先画积分域，将已知的二次积分化为二重积分，从图中可看出，要化二次积分为二重积分必须先将其分为两部分*解：用极坐标计算，（如图）*例6解*例7解*例8其中?是由xoy平面上曲线所围成的闭区域。提示：利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面计算三重积分*运用对称性时，必须兼顾被积函数与积分区域两个方面。两个方面的对称性要相匹配，才能利用1．若关于轴对称，对，则有(1)当时，(2)当时，2．若关于轴对称，对，则有(1)当时，(2)当时，