北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析）.docx

2025届高三返校测试（数学）

一、选择题

1.已知集合，，则（）

A. B.

C D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合A，B，由此能求出.

【详解】因为集合，，所以

.

故选：B.

2.复数对应的点在复平面内的（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限.

故选：B.

3.已知，则函数在处的切线方程是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导，即得斜率，然后表示出直线方程即可.

【详解】因为，

所以，

所以，又，

所以函数在处的切线方程为，

即.

故选：C

4.若且，则下列不等式中一定成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD.

【详解】A：当时，，故A错误；

B：当时，满足，，不成立，故B错误；

C：，

因为，所以，得，即，故C正确；

D：当时，满足，，不成立，故D错误.

故选：C

5.的展开式中的系数为

A.10 B.20 C.40 D.80

【答案】C

【解析】

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

6.已知是等比数列，为其前项和，那么“”是“数列为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.

【详解】设等比数列的公比为，

充分性：当，时，，无法判断其正负，显然数列为不一定是递增数列，充分性不成立；

必要性：当数列为递增数列时，，可得，必要性成立.

故“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.

7.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解.

【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，

，，则，

所以第2球投进的概率为.

故选：A

8.若函数在上单调递增，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.

【详解】由，可得当时函数单调递增，

即，

当时，，

又函数在，

所以，

即的最大值为，

故选：C.

9.已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.

【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.

故选：C

10.已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：

①对任意的，都有

②数列可能为常数列

③若，则当时，

④若，则数列为递减数列．

其中正确结论有（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.

【详解】解：对于①，在数列an中，，则，

又对于任意的都有，则，即，

即对于任意的，都有，

所以的值不确定大小，故①项错误；

对于②，不妨设数列an可能为常数列，则，

又，则，则，

即时，数列an为常数列，故②项正确；

对于③，，则，因为数列an中各项均为正数，

即，同理，当，都有，

又，即数列an为递增数列，

即当时，，故③项正确.

对于④，

又，则，即，

同理，当，都有，即，

同理，当，都有，

即，

即，即数列an为递减数列，故④项正确；

故选：C.

【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．

二、填空题

11.若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得，从而可求出的值.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以，解得，

故答案为：2.

12.数列是公差为的等差数列，记的前项和为，