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深圳高级中学（集团）中心校区2025届高三开学考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数是纯虚数，则实数（）

A. B. C. D.

2.设等差数列的前项和，若，，则（）

A.18 B.27 C.45 D.63

3.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（）

（附：，，）

A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名

4.已知向量，，若向量在向量上投影向量，则（）

A. B. C.3 D.7

5.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（）

A. B.

C. D.

6.已知，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

7.将12名志愿者（含甲?乙?丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲?乙?丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（）

A.3129 B.4284 C.18774 D.25704

8.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（）

A B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（）

A.的一个周期为 B.的最大值为

C.的图象关于直线对称 D.在区间上有3个零点

10.四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（）

A.不存点M，使得

B.的最小值为

C.四棱锥外接球表面积为5π

D.点M到直线AB的距离的最小值为

11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（）

A.序列是需要交换3次的序列 B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.展开式中的系数为，则的值为______．

13.设是一个随机试验中的两个事件，且，则______.

14.已知函数，且在处的瞬时变化率为．

①______；

②令，若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．

15.记的内角的对边分别为，已知

（1）求；

（2）设的中点为，若，且，求的周长．

16.已知在多面体中，，，，，且平面平面.

（1）设点F为线段BC的中点，试证明平面；

（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．

17.为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，

（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果