2024年北师大版八年级上册教学设计第四章4.4 一次函数的应用.docx

第1课时确定一次函数的表达式

课时目标

1.了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数.

2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式.

3.从一次函数“数”的角度入手,转移到“形”,让学生进一步体会数形结合的思想,发展数形结合解决问题的能力.

4.初步体会函数与方程的联系.

学习重点

了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数.

学习难点

能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式.

课时活动设计

回顾引入

前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出两个具体的一次函数表达式吗?如何画出它们的图象?

思考:反过来,已知一个一次函数的图象经过两个具体的点,你能求出它的表达式吗?

设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考.

探究新知

探究1确定正比例函数的表达式

情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.

(1)写出v与t之间的关系式;

(2)下滑3s时物体的速度是多少?

分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的表达式,再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可.

解:(1)设v与t之间的关系式为v=kt(t≥0).

由图象可知,当t=2时,v=5,

得5=2k,解得k=52

所以v与t之间的关系式为v=52t(t≥0)

(2)当t=3时,v=52×3=13

所以当下滑3s时,物体速度为152

总结:先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.

情境二:求正比例函数y=(m-4)xm2

解:由正比例函数的定义知

m2-15=1且m-4≠0,

∴m=-4.

∴y=-8x.

(情境一、二可根据学生情况进行选取)

方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0.

想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?

解:确定正比例函数的表达式需要一个条件.确定一次函数的表达式需要两个条件.

探究2确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过(0,5),(2,-5)两点,求一次函数的表达式.

解:设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意,得

-5=2k+b,①

将②代入①,得k=-5.

∴一次函数的表达式为y=-5x+5.

总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.

设计意图:让学生体会数形结合思想,发展数形结合解决问题的能力.

典例精讲

例1在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.请写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

解:设y=kx+b,根据题意,得

14.5=b,①

16=3k+b.②

将①代入②,得k=0.5.

所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.

当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).

即物体的质量为4kg时,弹簧长度为16.5cm.

例2正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.

解:设正比例函数表达式为y1=k1x,一次函数表达式为y2=k2x+b.

因为点A(4,3)是它们的交点,所以把A(4,3)代入y1=k1x中,得

4k1=3,k1=34,所以y1=3

又因为OA=32+42=5,OA=2OB,所以OB=52,B点坐标为0,-

所以b=-52.

把A(4,3)代入y2=k2x+b中,得4k2+b=3.②

将①代入②,得k2=118

所以y2=118x-5

总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.

求函数表达式的步骤:1.设函数表达式;2.根据已知条件列出有关方程;3.解方程;4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.

设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,总结求函数表达式的步骤.

巩固训练

1.如图,直线l是某正比例函数的图象,点A(-4,12),B(3,-9)是否在该函数的图象上?

解:设函数表达式为y=kx.

将(-1,3)代入y=kx中,得3=-k,k=-3.

所以该函数表达式为y=-3x.

把x=-4代入y=-3x中,得y=-3×(-4)=12,符合A(-4,12)的坐标.

所以点A在该图象上.同理可证,点B也在该函数图象上.

2.如图,直线l是一次