山东省百师联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题.docx

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山东省百师联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则（????）

A． B． C． D．

2．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

3．抛物线的准线方程为（????）

A． B． C． D．

4．如果随机变量，且，则（????）

A． B． C． D．

5．已知，则（????）

A． B． C． D．

6．某兴趣小组组织四项比赛，只有甲?乙?丙?丁四人报名参加且每项比赛四个人都参加，每项比赛冠军只有一人，若每项比赛每个人获得冠军的概率均相等，则甲恰好拿到其中一项比赛冠军的概率为（????）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（????）

A． B． C． D．

8．已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（????）

A．-7 B．5 C．6 D．7

11．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知一组数据为，则这组数据第60百分位数为.

13．已知圆的半径为是圆的两条直径，若，则.

14．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为.

四、解答题

15．已知的内角的对边分别为.

(1)求的值；

(2)若，求的面积.

16．如图，在三棱柱中，平面.

(1)求证：平面平面；

(2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.

17．在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)已知直线与曲线相交于两点，直线，过点作，垂足为，设点为坐标原点，求面积的最大值.

18．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立.

19．已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.

(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

(2)（i）证明：且；

（ii）当时，若，写出集合.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

A

C

A

C

D

B

CD

BD

题号

11

答案

ACD

1．D

【分析】首先根据复数的除法运算化简复数，再代入模的公式，即可求解.

【详解】由题知，，所以.

故选：D.

2．C

【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解.

【详解】，

即且，

即且，

得或，

则，

所以.

故选：.

3．A

【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.

【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.

故选：A

4．C

【分析】根据题意，得到，根据二项分别的期望与方差，列出方程组，即可求解.

【详解】由随机变量，且，

因为，可得，

则，解得.

故选：C.

5．A

【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解.

【详解】

.

故选：.

6．C

【分析】先求出总的情况数，再得到甲恰好拿到其中一项比赛冠军的情况数，相比得到概率.

【详解】每项比赛的冠军都可以是四人中的一人，故总的情况有种，

其中甲恰好拿到其中一项比赛冠军，先从四个比赛中选择一个安排甲，

再考虑剩余的3场比赛，冠军可以从剩余的3人中任选，故共有种，

故概率.

故选：C.

7．D

【分析】先根据离心率得到渐近线方程，由垂径定理得到弦长.

【详解】由，得，解得，

所以双曲线的一条渐近线为，

则圆心到渐近线的距离，

所以弦长为.

故选：D.

8．B

【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围.

【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心，

点在上，连接，连接并延长交于点，

则.设该球半径为，则.

由，可得，

故.

在中，，解得.

因为点为的中点，所以，

在中，，所以，

设球心到过点