大招22第二焦半径公式.docx

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大招22??第二焦半径公式

圆锥曲线上任意一点与其焦点的连线段称为圆锥曲线的焦半径．与焦半径有关的问题是高考中的热点问题之一，焦半径的角度式称为第二焦半径公式.

第二焦半径公式的统一形式：

A、F、B三点共线，且为直线AB的倾斜角

，，其中，

（1）椭圆：

①焦点在x轴上，，

②焦点在y轴上，，

③弦长公式：；

（2）双曲线：

①焦点在x轴上，，

②焦点在y轴上，，

③弦长公式：；

（3）抛物线：

①焦点在x轴上，，

②弦长公式：

【注】上述公式定义为圆锥曲线上的点，为焦点，为原点．此公式对于焦点在上下左右均适合，无须再单独讨论．

若将角度统一为直线的倾斜角，需要讨论其焦点位置，为方便记忆公式，角度统一为．

【例证一】点F是椭圆的左焦点，AB是过焦点的弦且直线AB的倾斜角为，点A在x轴上方，则，．

证明：设左准线l交x轴于点P，过点A作AM垂直x轴于M，作AN⊥l于N，

设d为点A到准线l的距离，其中，

而，

由，得到，

因此．同理，．

【例证二】若F为抛物线C：的焦点，AB是过焦点的弦且直线AB的倾斜角为（A在x轴上方），则，．

证明：设准线l交x轴于P点，过点A作AM垂直x轴于M，作AN⊥l于N．

设d为点A到准线l的距离，于是．其中，

于是，所以

故．同理，．

【典例1】如图所示，过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于两点．若，则的值为_________．

【大招指引】先利用椭圆的焦半径角度式得到、，再利用进行求解.

【解析】设，则．

由椭圆的焦半径角度式可知，，

从而．

【题后反思】因为本题中均涉及椭圆上的两点到椭圆左焦点的距离，所以利用椭圆的第二焦半径公式较为简单.

【温馨提醒】若过椭圆的一焦点作直线交椭圆于点，则椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即．

【举一反三】

1．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，则四边形面积的最小值为．

??

【典例2】已知双曲线的左焦点弦交双曲线的左支于两点，且，求直线的方程．

【大招指引】利用双曲线的第二焦半径公式得到，再利用同角三角函数基本关系和斜率公式进行求解.

【解析】设，则．

解得，所以．

故可得直线的斜率，又左焦点的坐标为，

所以直线的方程为或，

即或．

【题后反思】本题也可以利用常规方法进行求解：先求出双曲线的左焦点的坐标为，设出直线方程（这样设可避免讨论斜率是否存在），再联立直线和双曲线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式进行求解.

【温馨提醒】双曲线的第二焦半径公式是角度式焦半径公式，与坐标式焦半径公式相比较，避免了讨论双曲线上的点在哪一支上.

【举一反三】

2．如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为.

??

【典例3】已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为.

【大招指引】先利用第二焦半径公式得到，再利用二倍角公式和三角函数的有界性进行求解.

【解析】设，则，

，

所以．

显然，当时，取得最小值为16．

【题后反思】抛物线C：的焦点为，由题意可知，的斜率存在且不为0．不妨设直线的斜率为k，则：，：，

由，消去y得，

设，，

∴，由抛物线的定义可知，

．同理得，

∴，

当且仅当，即时取等号，故的最小值为16

【温馨提醒】焦半径公式主要包括焦半径的坐标式和角度式，基本上所有焦半径的题型都可以以这两个模型为切入点做出来，遇到坐标用坐标式，遇到直线用角度式．

【举一反三】

3．已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，是抛物线的焦点，且满足，则．

4．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（????）

A． B． C． D．与弦斜率有关

5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.则下列说法正确的是（????）

A．△ABF2的周长为12

B．椭圆的离心率为

C．的最大值为

D．△ABF2面积最大值为

6．如图所示，是椭圆的右焦点，过点作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于点，线段的中垂线交轴于点，则的值为．

??

7．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为．

8．已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则．

9．设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是