大招16极点极线.docx

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大招16??极点极线

1．极点极线的定义

过点P的直线交二次曲线（圆/椭圆/双曲线/抛物线）于G，H两点，若在直线上存在点Q使得，则点Q是点P关于二次曲线的调和共轭点．当直线开始旋转时，调和共轭点Q所形成的轨迹为一条直线l，且这条直线l就是点P关于二次曲线的极线．相应地，点P是直线l关于二次曲线的极点．

2．极点极线的直角坐标形式

在二次曲线：（A，B不同时为0（中，若极点为，则对应的极线l:．

①在圆中，极点，

极线．

②在椭圆中，极点，极线．

③在双曲线中，极点，极线．

④的抛物线中，极点，极线．

3．极点极线的性质

①如果点P关于二次曲线的极线经过点Q，那么点Q关于二次曲线的极线经过点P．

如图．

②已知直线，分别是点A，B关于二次曲线的极线，且直线，交于点C，则点C关于二次曲线的极线是直线AB．如图．

③已知四边形ABCD内接于二次曲线，且点P是四边形ABCD对角线的交点，若点Q是直线AB，CD的交点，点R是AD，BC的交点，则点P关于二次曲线的极线是直线QR．如图．

4．极点极线的应用方式

极点极线在大题中不能用来直接得结论．但是使用极点极线相关知识，可以在定值定点问题中猜出其定点、定值或者其他一些结论，确定大致方向，然后规范证明．

【典例1】过椭圆内一点，做直线与椭圆交于点，作直线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，求所在的直线方程．

【大招指引】先写出过点的切线方程，进而写出直线的直线方程，再代入进行求解.

【解析】过点的切线方程分别为，

，，

因点在上，则，，

这表明，在直线上，

同理所在的直线方程为，

因为直线相交于点，

所以，

所以所在的直线方程为．

【题后反思】本题实质就是求椭圆内一点对应的极线方程，所在的直线方程为．

【温馨提醒】在运用极点和极线问题时，当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

【举一反三】

1．(本小题满分分)已知圆有以下性质：

①过圆上一点的圆的切线方程是.

②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线AB的方程为.

③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直AB，即，且平分线段AB.

(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；

(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；

(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段AB.

【典例2】已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为_________，直线与椭圆的公共点个数是_________．

【大招指引】首先判定点在椭圆内部且与原点不重合，再利用椭圆的定义得到的取值范围，利用极点极线和点在椭圆内判定直线和椭圆的个数.

【解析】依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得，由数形结合可得，当点在线段上除原点时，，当在椭圆上时，，故的取值范围为．由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零．

【题后反思】解决本题的关键在于将和椭圆进行联系，体现了数形结合思想的应用.

【温馨提醒】在处理极点和极线问题时，要注意考虑点P与圆锥曲线G的位置关系，如本题中点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，且点在椭圆内，所以极线与椭圆相离.

【举一反三】

2．对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（????）

A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点

C．有一个或两个公共点 D．没有公共点

【典例3】已知椭圆的方程为，过直线上任意一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为_________．

【大招指引】利用切点弦是点对应的极线写出线的方程，再利用直线过椭圆焦点进行求解.

【解析】切点弦是点对应的极线，设点的坐标为，则可知直线的方程为，即，因为直线过椭圆焦点，所以原点到直线的距离的最大值为1．

【题后反思】本题也可以利用常规方法进行求解：

设，由椭圆在处的切线方程为：，则直线的方程：，直线的方程：，由直线和直线过，将代入直线和直线方程得，，则分别为方程的解，所以直线的方程为，令，则，直线恒过定点，当直线的斜率不存时，直线的方程到直线的距离，当直线的斜率不存在时，则直线的方程，则原点到直线距离为1，故答案为：1．

【温馨提醒】无论用哪种解法，均得到直线过椭圆焦点，利用数形结合和平面几何知识得到原点到直