欧拉线问题（解析版）.pdf

欧拉线问题

欧拉线是高中数学常见的信息题类的考点，其原理很简单：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，

而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线叫做三角形的欧拉线，只需要掌握图形特

点即可轻松求解

等腰三角形中的欧拉线(中垂线)

1.数学巨星欧拉(LeonhardEuler，1707~1783)在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定

理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这

条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知△ABC的顶点B(-1,0)，C(0,2)，且AB=AC，则

△ABC的欧拉线方程为()

A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0

【答案】D

【分析】根据题意得出△ABC的欧拉线方程为线段BC的垂直平分线，再根据点B和点C的坐标求出线段BC

的垂直平分线即可．

1

【详解】由B(-1,0)，C(0,2)，得线段BC中点的坐标为-,1，2

所以线段BC的斜率k=2，

BC

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所以线段BC垂直平分线的方程为：y-1=-x+，即2x+4y-3=0，22

又因为AB=AC，

所以△ABC的外心、中心、垂心都在线段△ABC的垂直平分线上，

所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，

故选：D．

2.瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称

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为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC，点B-1,3，点C4,-2，圆M:(x+3)+y=

4,Px,y是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()

00

1

A.△ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得∠MPN=π

6

C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点

【答案】ABD

【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆

和圆的切线的性质判断各选项即可.

【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以AD⊥BC，

3+2-1+433-2131

因为k==-1，所以k=1，且x==，y==，所以D,，

BC-1-4ADD22D2222

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由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-=x-即y=x-1，A正确；

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