小学五年级数学奥数数的整除(附练习及详解).pdf

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一、基本概念和知识

1.整除

例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整

除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数

是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）

7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10

—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能

整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

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即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.

②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）

整除。

③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

④能被5整除的数的特征：个位是0或5。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整

除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与

偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与

末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）

整除。

练习及详解

例题1.四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）

解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1

一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。

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练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整

除,方格内应填_____。

练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位

_____。

例题2.1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。

解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除

的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。

(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）=(1+100)÷2×100-(3+99)

÷2×33=5050-1683=336