新高考数学一轮复习数列求和.pptx

§6.5数列求和第六章数列

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练

落实主干知识第一部分

数列求和的几种常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，________________________.

2.分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.

3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧

常用求和公式

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()(3)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝()(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()√××√

√

由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.

√

√

①②

探究核心题型第二部分

例1(2023·菏泽模拟)已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.题型一分组求和与并项求和

由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)， ①得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)， ②由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，

(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.

延伸探究在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?

当n为偶数时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn

当n为奇数时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1

(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.思维升华

跟踪训练1记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0.所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.

当n为偶数时，Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n当n为奇数时，

例2(2021·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和

因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，

(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

因为3bn＋(n－4)an＝0，①②

因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，

即－3n≤λ(n－4)恒成立，当n＝4时，－12≤0恒成立，所以－3≤λ≤1.

(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.(2)错位