新高考数学一轮复习圆锥曲线中探索性与综合性问题.pdf

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.13圆锥曲线中探索性

与综合性问题

题型一探索性问题

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，

在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

假设存在点M(t,0)(t0)满足题设条件.

由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).

设Q(x，y)(x≥1)为双曲线C右支上一点.

000

当x＝2时，

0

因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，

所以∠QMF＝45°，

于是|MF|＝|QF|＝3，

所以t＝－1.

即M(－1,0).

因为∠QFM＝2∠QMF，

解得t＝－1.

即M(－1,0).

综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).

思思维维升升华华

存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则

存在，若结论不正确则不存在.

(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

2

跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x＝2py(p0)的焦点为F，

点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.

(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；

由题意得，

2

因为点M(2，m)在抛物线上，所以2＝2pm，

2

所以抛物线C的标准方程为x＝4y.

(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率

22

之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)＋(y－m)＝80相切？若能，求

此时直线l的方程；若不能，请说明理由.

由(1)得M(2,1)，

得xx＋2(x＋x)＋36＝0；

1212

设直线AB方程为y＝kx＋b，

所以x＋x＝4k，xx＝－4b，

1212

所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，

所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，

即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，

22

又圆M：(x－2)＋(y－1)＝80正好经过点N(－2,9)，

当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，

题型二圆锥曲线的综合问题

(1)求抛物线C和椭圆C的方程；

12

2

所以抛物线C的方程为y＝8x，

1

(2)过A点作直线l交C于C，D两点，射线OC，OD

1

分别交C于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积

2

分别为S和S，问是否存在直线l，使得S∶S＝

1212

3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，

请说明理由.

由题设知直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为x＝m