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空气动力学数值方法：有限元法(FEM)：网格生成技术

1空气动力学与数值方法简介

空气动力学是研究物体在气体中运动时的力学行为，特别是关注流体动力

学在飞行器设计中的应用。数值方法则是通过离散化过程，将连续的物理问题

转化为一系列离散的数学问题，以便于计算机求解。在空气动力学中，数值方

法被广泛应用于模拟流体流动，预测气动性能，以及优化飞行器设计。

1.1有限元法在空气动力学中的应用

有限元法（FEM）是一种强大的数值分析工具，用于求解复杂的工程问题，

包括结构力学、热传导、电磁学以及流体力学。在空气动力学领域，FEM主要

用于求解流体动力学方程，如纳维-斯托克斯方程，以分析飞行器周围的流场特

性。通过将飞行器表面和周围空间离散化为有限数量的单元，FEM能够精确地

计算出每个单元上的压力、速度和温度分布，从而提供飞行器气动性能的全面

分析。

1.1.1示例：使用Python和FEniCS求解二维流体动力学问题

fromfenicsimport*

#创建网格

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

#定义函数空间

V=VectorFunctionSpace(mesh,P,2)

Q=FunctionSpace(mesh,P,1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定义流体动力学方程

u=TrialFunction(V)

p=TrialFunction(Q)

v=TestFunction(V)

q=TestFunction(Q)

f=Constant((0,0))

nu=0.01

1

a=nu*inner(grad(u),grad(v))*dx+inner(grad(p),v)*dx-div(u)*q*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解问题

u=Function(V)

p=Function(Q)

solve(a==L,[u,p],[bc])

#可视化结果

plot(u)

plot(p)

interactive()

这段代码使用FEniCS库在Python中定义了一个二维流体动力学问题的有

限元模型。它首先创建了一个单位正方形网格，然后定义了速度和压力的函数

空间。接着，它设定了边界条件，定义了流体动力学方程，并求解了速度和压

力场。最后，它可视化了求解结果，展示了速度和压力的分布。

1.2网格生成技术的重要性

网格生成技术是有限元法应用中的关键步骤。一个高质量的网格能够确保

数值解的准确性和稳定性，而网格的生成则需要考虑几何形状的复杂性、流体

流动的特性以及计算资源的限制。在空气动力学中，网格通常需要紧密地围绕

飞行器表面，以捕捉边界层效应，同时在远离飞行器的区域可以适当放宽网格

密度，以减少计算量。网格生成技术的发展，如自适应网格细化和非结构化网

格，极大地提高了空气动力学数值模拟的效率和精度。

1.2.1示例：使用Gmsh生成二维非结构化网格

#Gmsh命令行示例

gmsh-2airfoil.geo-oairfoil.msh

在这个示例中，airfoil.geo是一个描述翼型几何形状的Gmsh脚本文件。通

过运行Gmsh命令，可以生成一个名为airfoil.msh的非结构化网格文件，该文

件可以被导入到有限元分析软件中，用于后续的空气动力学数值模拟。

通过上述介绍，我们了解了空气动力学数值方法中有限元法的基本应用，

以及网格生成技术在确保数值解准确性和稳定性方面的重要性。在实际应用中，

这些技术的熟练掌握对于飞行器设计和气动性能分析至关重要。

2

2有限元法基础

2.1FEM的基本原理

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，用于求解

复杂的工程问题，如结构分析、流体动力学、热传导和电磁学等。其基本思想

是将连续的物理域离散化为有限个子域，即单元，每个单元用一组节点来表示。

在每个单元内，物理量（如位移、压力、温度等）被近似为节点值的函数，这

种函数称为插值函数或形