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解决证明含有两个变量的不等式策略

近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。

策略一：当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数，利用单调性证明不等式。

例1（2010年辽宁文科21）已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：对任意，。

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；

x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.

令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.

于是≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，

即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.

当exe2时，1－lnx0，

例2（2009年辽宁理科21）

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

解：(1)的定义域为。

2分

（i）若即,则

故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在

（I）根据x=2是函数f（x）的极值点，则f′（2）=0可求出a的值，然后求出切线的斜率和切点，从而可求出切线方程；

（II）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a﹣2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；

（III）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln﹣＞0，根据（II）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且大于1，利用函数的单调性可得证．

解：（I）f′（x）=﹣=，

由题意知f′（2）=0，解得a=，经检验符合题意．

从而切线的斜率为k=f′（1）=﹣，切点为（1，0）

切线方程为x+8y﹣1=0

（II）f′（x）=，

因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，

当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，

得：2a﹣2≤x+，

设g（x）=x+，x∈（0，+∞），

则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，

所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；

（III）要证，只需证＜，

即ln＞，即ln﹣＞0，

设h（x）=lnx﹣，

由（II）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，

所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，

得到．

点评：

本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．

例4（2013年陕西）已知函数.

(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.

(Ⅲ)设ab,比较与的大小,并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.

.过点(1,0)的切线方程为:y=x+1

(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.

因此，

所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)

(Ⅲ)设

令.

,

且

.

所以

练习2（2006年四川理科22）已知函数，的导数是。对任意两个不等的正数、，证明：

（Ⅰ）当时，；

（Ⅱ）当时，。

本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。满分14分。

证明：（Ⅰ）由，得

。

而，①

又，

∴。②

∵，∴。

∵，∴。③

由①、②、③，得，

即。

（Ⅱ）证法一：由，得，

∴。

下面证明对任意两个正数、，有恒成立，

即证成立。

∵

设，，则。

令，得。列表如下：

极小值

。

∴

∴对任意两